闲话 24.7.22

闲话

哎呀，阿育大促了啊（
哎呀，我就喜欢玩罐头游戏啊（
哎呀，怎么远哭56，奥德赛都一折啊（
哎呀，怎么还能折上折啊（
哎呀，怎么跳出支付二维码了啊（
哎呀，怎么开始下载了啊（

所以闲话断更了。

而且我发现我写实分析读书笔记，居然被困在数理逻辑上了。我想仔细理一下这个的顺序，却发现根本没法完成（

所以闲话断更了。

推一首应景的歌：司空见惯的废人日记 by 沉林川 et al. feat. 诗岸

求你快点清醒求你快点清醒
世界从来不会停下等你
拿出一分勇气结束内心的刑期

奇思妙想：对特定 gf 的 $y^0$ 项提取系数

那些你不要的：其(?)。

其实可能是经典结论。高光公式：

[x^{0}] \frac{F (1 / x)}{1 - x} = F (1)

$[x^0]\frac{F(1/x)}{1 - x} = F(1)$

其实可以拓展成 $F(x_0) = [t^0] \dfrac{F(1/t)}{1-x_0t}$ 。

先引入一下原问题吧。我尽量快进到 analyse 部分。

对每个 $1\le n \le n_0$ ，计数函数 $f:\{x \mid x\le n, x\in \mathbb N_+\} \to \{x + 1 \mid x\le n, x\in \mathbb N_+\}$ ，满足 $f(f(x) - 1) = f(x)$ 。

$n_0\le 10^5$ 。

考察 $g(x) = f(x) - 1$ ，则这就是 $g(g(x)) = g(x)$ 。那么设 $g(x)$ 的值域为 $A$ ，则 $x\in A \iff g(x) = x$ 。那么枚举 $k = \lvert A \rvert$ ，考虑定义域大小为 $n$ ，有 $n - k$ 个数（不属于 $A$ 的那些）的像可以从 $k$ 个数（属于 $A$ 的那些）里随便挑，剩下的数的像确定，答案就是

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) k^{n - k}

$\sum_{k = 0}^n \binom nk k^{n - k}$

好，specify 部分结束，扔进 oeis 可以查到这就是 A248。但 oeis 秒杀对标准处理技术的提升没有啥帮助，我们首先独立地推导一下它的生成函数。

由于 $k^{n - k}$ 难以分离成卷积的形式，我们不妨改为 $(n - k)^k$ 然后二项式定理拆开。也就是

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (n - k)^{k} \\ = & \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \sum_{i = 0}^{k} (\binom{k}{i}) n^{k - i} (- k)^{i} \\ = & \sum_{i = 0}^{n} \sum_{k = i}^{n} (\binom{n}{i}) (\binom{n - i}{k - i}) n^{k - i} (- k)^{i} \\ = & \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) \sum_{k = 0}^{n - i} (\binom{n - i}{k}) n^{k} (- k - i)^{i} \end{aligned}

$\begin{aligned} & \sum_{k = 0}^n \binom nk (n - k)^k \\ = \ & \sum_{k = 0}^n \binom nk \sum_{i = 0}^k \binom ki n^{k - i} (- k)^{i} \\ = \ & \sum_{i = 0}^n \sum_{k = i}^n \binom ni \binom {n - i}{k - i} n^{k - i} (- k)^{i} \\ = \ & \sum_{i = 0}^n \binom ni \sum_{k = 0}^{n - i} \binom {n - i}{k} n^{k} (- k - i)^{i} \end{aligned}$

考虑最后是 $n^{k} (n - k - i - n)^{i}$ 的形式，我们可以先构造一下卷积。知道我们需要

\sum_{k} n^{k} \frac{x^{k}}{k!} = e^{n x}

$\sum_k n^k \frac{x^k}{k!} = e^{nx}$

和

\begin{aligned} \sum_{k} (k - n)^{i} \frac{x^{k}}{k!} \\ = & \sum_{k} [\frac{t^{i}}{i!}] e^{(k - n) t} \frac{x^{k}}{k!} \\ = & [\frac{t^{i}}{i!}] e^{- n t} \sum_{k} \frac{{(x e^{t})}^{k}}{k!} \\ = & [\frac{t^{i}}{i!}] \exp (x e^{t} - n t) \end{aligned}

$\begin{aligned} & \sum_{k} (k - n)^{i} \frac{x^k}{k!} \\ = \ & \sum_{k} \left[\frac{t^i}{i!}\right] e^{(k - n)t} \frac{x^k}{k!} \\ = \ & \left[\frac{t^i}{i!}\right] e^{-nt} \sum_{k} \frac{\left(xe^t\right)^k}{k!} \\ = \ & \left[\frac{t^i}{i!}\right] \exp\left(xe^t - nt\right) \end{aligned}$

那么原式

\begin{aligned} = & \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) [\frac{x^{n - i}}{(n - i)!} \frac{t^{i}}{i!}] e^{n k} \exp (x e^{t} - n t) \\ = & n! \sum_{i = 0}^{n} [x^{n - i} t^{i}] \exp (x e^{t} + n (x - t)) \end{aligned}

$\begin{aligned} = \ & \sum_{i = 0}^n \binom ni \left[\frac{x^{n - i}}{(n - i)!}\frac{t^i}{i!}\right] e^{nk} \exp\left(xe^t - nt\right) \\ = \ & n! \sum_{i = 0}^n \left[x^{n - i}t^i\right]\exp\left(xe^t + n(x - t)\right) \end{aligned}$

做换元 $u = x, v = t/x$ ，那么 $x = u, t = uv$ ，原式

\begin{aligned} = & n! \sum_{i = 0}^{n} [u^{n} v^{i}] \exp (u e^{u v} + n u (1 - v)) \\ = & n! [u^{n}] \sum_{i = 0}^{n} [v^{i}] \exp (u e^{u v} + n u (1 - v)) \\ = & [\frac{u^{n} v^{n}}{n!}] \frac{\exp (u e^{u v} + n u (1 - v))}{1 - v} \end{aligned}

$\begin{aligned} = \ & n! \sum_{i = 0}^n \left[u^nv^i\right]\exp\left(ue^{uv} + nu(1 - v)\right) \\ = \ & n! \left[u^n\right]\sum_{i = 0}^n \left[v^i\right]\exp\left(ue^{uv} + nu(1 - v)\right) \\ = \ & \left[\frac{u^nv^n}{n!}\right] \frac{\exp\left(ue^{uv} + nu(1 - v)\right)}{1 - v} \end{aligned}$

终于！……？怎么这个形式那么不美观呢？看看 oeis，再看看我们的式子，我们惊讶地发现下面的等式是成立的：

[\frac{u^{n} v^{n}}{n!}] \frac{\exp (u e^{u v} + n u (1 - v))}{1 - v} = [\frac{x^{n}}{n!}] \exp (x e^{x})

$\left[\frac{u^nv^n}{n!}\right] \frac{\exp\left(ue^{uv} + nu(1 - v)\right)}{1 - v} = \left[\frac{x^n}{n!}\right] \exp\left(xe^x\right)$

呃呃。先换元吧。令 $x = uv, y = v$ ，那么 $u = (x/y),v = y$ ，原式

\begin{aligned} = & [\frac{x^{n}}{n!} y^{0}] \frac{\exp ((x / y) e^{x} + n (x / y) (1 - y))}{1 - y} \end{aligned}

$\begin{aligned} = \ & \left[\frac{x^n}{n!}y^0\right] \frac{\exp\left( (x/y)e^{x} + n (x/y)(1 - y)\right)}{1 - y} \end{aligned}$

首先考察

[x^{0}] \frac{\exp (a + b / x)}{1 - x}

$[x^0]\frac{\exp(a + b/x)}{1-x}$

展开一下知道这就是

[x^{0}] (\sum_{k} ([x^{- k}] \exp (a + b / x)) x^{- k}) (\sum_{k} x^{k})

$[x^0] \left(\sum_{k} \left([x^{-k}] \exp(a + b/x) \right) x^{-k} \right)\left(\sum_{k} x^k\right)$

而左边的每一项都恰能找到右边的唯一一项使得乘积是 $x^0$ 项，也就是上式

= \sum_{k} [x^{- k}] \exp (a + b / x) = \sum_{k} [x^{k}] \exp (a + b x) = \exp (a + b)

$=\sum_{k} [x^{-k}] \exp(a + b/x) = \sum_{k} [x^{k}] \exp(a + bx) = \exp(a + b)$

回到原式，整理得到

\begin{aligned} = & [\frac{x^{n}}{n!} y^{0}] \frac{\exp ((1 / y) (x e^{x} + n x) - n x)}{1 - y} \end{aligned}

$\begin{aligned} = \ & \left[\frac{x^n}{n!}y^0\right] \frac{\exp\left( (1/y)(xe^{x} + nx) - nx\right)}{1 - y} \end{aligned}$

这显然是

[\frac{x^{n}}{n!}] \exp (x e^{x})

$\left[\frac{x^n}{n!}\right] \exp\left(xe^x\right)$

因此可以做到 $O(n\log n)$ 求一行。

能不能再给力一点啊？进一步的优化可能需要用到 Binomial Sums？我没学会，我先摆了。

posted @ 2024-07-22 20:57 joke3579 阅读(156) 评论(2) 编辑收藏举报

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