闲话 24.7.17

闲话

不是，绝区零真好玩吧？
质疑艾莲，理解艾莲，单推艾莲 /se

从图书馆借了本陶哲轩实分析（

预告：处理▂▕▄▄制▒▟▀问题可以▙依赖[错误: 所引对象未导引至对象实例 ; 标准处理方法_003.rtf 不存在]。不确定能否[已编辑]。

奇思妙想：一阶常系数非齐次线性递推的远点值

那些你不要的（其*）。

给定 $p, q_0, \dots, q_m$ ，定义 $a_{-1} = 0$ ， $\forall n \ge 0, a_{n} = pa_{n - 1} + \sum_{i = 0}^m q_i n^i$ 。

求 $a_n$ ，其中 $n$ 较大。

令 $F(x)$ 为 $\{a_n\}$ 的 gf， $G(x)$ 为修正 gf，则直接列出

F (x) = p x F (x) + G (x)

$F(x) = pxF(x) + G(x)$

为分析 $G(x)$ ，只需要考察 $\sum_n n^ix^n$ 。知道

\sum_{n \geq 0} n^{i} x^{n} = \sum_{n \geq 0} [t^{i} / i!] e^{n t} x^{n} = [\frac{t^{i}}{i!}] \frac{1}{1 - x e^{t}}

$\sum_{n\ge 0} n^ix^n = \sum_{n\ge 0} [t^i/i!] e^{nt} x^n = \left[\frac{t^i}{i!}\right] \frac{1}{1 - xe^t}$

那么

G (x) = \sum_{i = 0}^{m} q_{i} [\frac{t^{i}}{i!}] \frac{1}{1 - x e^{t}} = (\sum_{i = 0}^{m} q_{i} [\frac{t^{i}}{i!}]) \frac{1}{1 - x e^{t}}

$G(x) = \sum_{i = 0}^m q_i \left[\frac{t^i}{i!}\right] \frac{1}{1 - xe^t} = \left(\sum_{i = 0}^m q_i \left[\frac{t^i}{i!}\right]\right) \frac{1}{1 - xe^t}$

从而 $F(x) = G(x) / (1 - px)$ ，带入得到

F (x) = (\sum_{i = 0}^{m} q_{i} [\frac{t^{i}}{i!}]) \frac{1}{(1 - p x) (1 - e^{t} x)}

$F(x) = \left(\sum_{i = 0}^m q_i \left[\frac{t^i}{i!}\right]\right) \frac{1}{(1 - px)(1-e^tx)}$

明眼人都能看出来该分式分解了。直接将 Apart[1/((1 - e^t x)(1 - p x)), x] 输入 mma，我们就能得到

\frac{1}{(1 - p x) (1 - e^{t} x)} = \frac{1}{e^{t} - p} (\frac{e^{t}}{1 - e^{t} x} - \frac{p}{1 - p x})

$\frac{1}{(1 - px)(1-e^tx)} = \frac{1}{e^t - p}\left(\frac{e^t}{1 - e^tx} - \frac{p}{1 - px}\right)$

直接提取 $x^n$ 项系数，就能得到答案其实是

(\sum_{i = 0}^{m} q_{i} [\frac{t^{i}}{i!}]) \frac{e^{(n + 1) t} - p^{n + 1}}{e^{t} - p}

$\left(\sum_{i = 0}^m q_i \left[\frac{t^i}{i!}\right]\right)\frac{e^{(n + 1)t} - p^{n + 1}}{e^t - p}$

瓶颈是提取后面那个东西的前 $m$ 项系数，直接模 $x^{m + 1}$ 意义下求逆就是 $O(m \log m)$ 的。

不太懂能不能做到 $O(m)$ ，根据伯努利数 gf 不微分有限的经验，我们可能需要一些不依赖 dfinite 的做法。

一个 motivation 是 egf 和 ogf 的转换。那么答案就是

(\sum_{i = 0}^{m} q_{i} [t^{i}]) \sum_{i = 0}^{n} \frac{p^{n - i}}{1 - i t}

$\left(\sum_{i = 0}^m q_i \left[t^i\right]\right)\sum_{i = 0}^n\frac{p^{n - i}}{1 - it}$

然后咋办啊？

posted @ 2024-07-17 10:25 joke3579 阅读(108) 评论(0) 编辑收藏举报

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