闲话 24.10.19

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今日推歌：毕业Graduate by 天使盐Tenshien feat. 诗岸
希望大家幸福。

那些你不要的：渐进一例

刚过去的 STAOI R8 T5，很多人用暴力直接草了过去。那么，复杂度真的有保障吗？

令 $V = \max n \in \Theta(n)$ ， $A = \mathbb P \cap [1, V]$ 。那么枚举 $i$ ，枚举 $j = n \bmod i$ ，再枚举每个符合条件的 $n$ ，总时间复杂度即

\begin{aligned} Θ (\sum_{i \in A} \sum_{j \in A, j < i} \frac{V - j}{i}) \\ = & Θ (\sum_{i \in A} (\frac{V}{i} \frac{i}{\log i} - \frac{1}{i} \sum_{j \in A, j < i} j)) \\ = & Θ (V \sum_{i \in A} \frac{1}{\log i} - \sum_{i \in A} \frac{1}{i} \sum_{j \in A, j < i} j) \\ = & Θ (V \int_{2}^{V} \frac{1}{\log x} d π (x) - \sum_{i \in A} \frac{1}{i} \int_{2}^{i} x d π (x)) \\ = & Θ (V (\frac{V}{\log^{2} V} - \int_{2}^{V} π (x) d (\frac{1}{\log x})) - \sum_{i \in A} \frac{1}{i} (\frac{i^{2}}{\log i} - \int_{2}^{i} π (x) d x)) \\ = & Θ (V (\frac{V}{\log^{2} V} + \int_{2}^{V} \frac{1}{\log^{3} x} d x) - \sum_{i \in A} \frac{1}{i} (\frac{i^{2}}{\log i} - \int_{2}^{i} \frac{x}{\log x} d x)) \\ = & Θ (\frac{V^{2}}{\log^{2} V} + V (\frac{1}{2} (li (V) - \frac{V (\log (V) + 1)}{\log^{2} (V)})) - \sum_{i \in A} \frac{1}{i} (\frac{i^{2}}{\log i} + E i (2 \log i))) \end{aligned}

$\begin{aligned} & \Theta\left(\sum_{i \in A} \sum_{j \in A, j < i} \frac{V - j}{i} \right) \\ = \ & \Theta\left(\sum_{i \in A} \left( \frac{V}{i} \frac{i}{\log i} - \frac{1}{i} \sum_{j \in A, j < i} j \right) \right) \\ = \ & \Theta\left( V\sum_{i \in A} \frac{1}{\log i} - \sum_{i \in A} \frac{1}{i} \sum_{j \in A, j < i} j \right) \\ = \ & \Theta\left( V \int_2^V \frac{1}{\log x} \mathrm d \pi(x) - \sum_{i \in A} \frac{1}{i} \int_2^i x \mathrm d \pi(x) \right) \\ = \ & \Theta\left( V \left( \frac{V}{\log^2 V} - \int_2^V \pi(x) \mathrm d\left(\frac{1}{\log x}\right) \right) - \sum_{i \in A} \frac{1}{i} \left(\frac{i^2}{\log i} - \int_2^i \pi(x) \mathrm d x \right) \right) \\ = \ & \Theta\left(V \left( \frac{V}{\log^2 V} + \int_2^V \frac{1}{\log^3 x} \mathrm dx \right) - \sum_{i \in A} \frac{1}{i} \left(\frac{i^2}{\log i} - \int_2^i \frac{x}{\log x} \mathrm d x \right) \right) \\ = \ & \Theta\left(\frac{V^2}{\log^2 V} + V\left(\frac{1}{2} \left(\text{li}(V)-\frac{V (\log (V)+1)}{\log ^2(V)}\right)\right) - \sum_{i \in A} \frac{1}{i} \left(\frac{i^2}{\log i} + \mathrm{Ei}(2\log i) \right) \right) \end{aligned}$

由于 $\mathrm{Ei}(\log x) = \mathrm{li}(x) \sim \dfrac{x}{\log x}$ ，后半部分即

\begin{aligned} Θ (\sum_{i \in A} \frac{i}{\log i}) \\ = & Θ (\int_{2}^{V} \frac{x}{\log x} d π (x)) \\ = & Θ (\frac{V^{2}}{\log^{2} V} - \int_{2}^{V} \frac{x}{\log x} (\frac{1}{\log x} - \frac{1}{\log^{2} x}) d x) \\ = & Θ (\frac{V^{2}}{\log^{2} V} - \frac{V^{2}}{\log^{2} (V)}) \end{aligned}

$\begin{aligned} & \Theta\left(\sum_{i \in A} \frac{i}{\log i} \right) \\ = \ & \Theta\left(\int_2^V \frac{x}{\log x} \mathrm d \pi(x) \right) \\ = \ & \Theta\left(\frac{V^2}{\log^2 V} - \int_2^V \frac{x}{\log x} \left(\frac{1}{\log x} - \frac{1}{\log^2 x}\right)\mathrm dx \right) \\ = \ & \Theta\left(\frac{V^2}{\log^2 V} - \frac{V^2}{\log ^2(V)} \right) \end{aligned}$

后半部分渐进趋于 $0$ 。那么原式即

\begin{aligned} = & Θ (\frac{V^{2}}{\log^{2} V} + V (\frac{1}{2} (\frac{V}{\log V} - \frac{V}{\log (V)} - \frac{V}{\log^{2} V}))) \\ = & Θ (\frac{V^{2}}{\log^{2} V}) \end{aligned}

$\begin{aligned} = \ &\Theta\left(\frac{V^2}{\log^2 V} + V\left(\frac{1}{2} \left(\frac{V}{\log V} -\frac{V}{\log(V)} -\frac{V}{\log^2 V}\right)\right) \right) \\ = \ & \Theta\left(\frac{V^2}{\log^2 V}\right) \end{aligned}$

最后同阶部分的消去是在 $V\to\infty$ 的时候考察了一下系数。这是由于，当 $V\to\infty$ 的时候，随着求和中分段数的增加，求和与积分的差值会无限减小，所以系数可以看作 $1$ 。那么毛估估一下就是对的了。

如果有更严谨的证明欢迎评论区 d 我，如果有问题也是 /cy

Argon_Cube 指出了一种更迅速的推法：注意到

Θ (\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{\log i}) = Θ (\frac{n}{\log n})

$\Theta\left(\sum_{i = 1}^n\frac{1}{\log i}\right) = \Theta\left(\frac{n}{\log n}\right)$

则枚举 $i$ 为第 $i$ 个质数（大小为 $O(i \log i)$ ），再枚举前 $i$ 个质数作为 $n\bmod i$ ，最后枚举 $V / (i\log i)$ 个可能的 $n$ ，有复杂度即

Θ (\sum_{i = 1}^{V / \log V} i \frac{V}{i \log i}) = Θ (V \frac{V / \log V}{\log (V / \log V)}) = Θ (\frac{V^{2}}{\log^{2} V})

$\Theta\left(\sum_{i = 1}^{V/\log V} i\frac{V}{i\log i}\right) = \Theta\left(V \frac{V / \log V}{\log (V / \log V)}\right) = \Theta\left(\frac{V^2}{\log^2 V}\right)$

这也能解释为什么前面得到了后半部分渐进趋于 $0$ 。

posted @ 2024-10-19 21:48 joke3579 阅读(384) 评论(2) 编辑收藏举报

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