闲话 24.7.15

闲话

量子破碎真好玩啊。
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推歌：gradation days by フユウ feat. 裏命

增补：杨表，格路和生成函数

\(1.\) 不相交格路

为了说明不相交路径的组合意义，我们首先引入大名鼎鼎(?)的 LGV 引理。

对一张带权的有向无环图 \(G = (V, E)\)，记 \(w(u, v)\) 为有向边 \((u,v)\) 的边权（权值均为一个交换环的元素）。一个列 \((a_1, b_1), \dots, (a_k, b_k)\) 被称作一条由 \(a_1\) 到 \(b_k\) 的长度为 \(k\) 的路径 \(P\)，当且仅当 \(\forall 1\le i < k, b_i = a_{i + 1}\)。对该路径 \(P\)，记 \(\ell(P) = k\)，\(P_i = (a_i, b_i)\)，\(w(P) = \prod_{i = 1}^k w(P_i)\)。 对 \(u, v\in E\)，令所有由 \(u\) 到 \(v\) 的路径组成集合 \(\mathcal P(u, v)\)，记 \(e(u, v) = \sum_{P\in \mathcal P(u, v)} w(P)\)。

指定两个大小为 \(n\) 的点集 \(S,T\subseteq V\)，并分别称为起点集合和终点集合，其中第 \(k\) 个元素分别为 \(S_k, T_k\)。一个列 \(\{P_n\} = \{P_1, \dots, P_n\}\) 被称为一组由 \(S\) 到 \(T\) 的不相交路径，当且仅当存在排列 \(\pi\) 使得 \(P_i\) 为一条由 \(S_i\) 到 \(T_{\pi_i}\) 的路径，且 \(\forall i\neq j\)，\(P_i\) 和 \(P_j\) 不存在公共顶点。

记排列 \(\pi\) 的逆序数为 \(\sigma(\pi)\)。进一步地，由于确定 \(S,T\) 后，一组由 \(S\) 到 \(T\) 的不相交路径 \(\{P\}\) 会确定一个排列，记该排列的逆序数为 \(\sigma(P)\)。

\(\textbf{(定理 1) }\text{(LGV 引理)}\)

对任意有向无环图 \(G = (V, E)\)，以及大小均为 \(n\) 的起点/终点集合 \(S, T\subseteq V\)，令 \(\{P\}:S\to T\) 枚举每一组由 \(S\) 到 \(T\) 的不相交路径，则有

\[\det \begin{bmatrix}e(S_1, T_1) & e(S_1, T_2) & \cdots & e(S_1, T_n) \\ e(S_2, T_1) & e(S_2, T_2) & \cdots & e(S_2, T_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e(S_n, T_1) & e(S_n, T_2) & \cdots & e(S_n, T_n)\\\end{bmatrix} = \sum_{\{P\}:S\to T} (-1)^{\sigma (P)} \prod_{i = 1}^n w(P) \]

证明：见 OI Wiki。\(\square\)

若一组不相交路径相关的图可以经由格路游走刻画，则称其为一组不相交格路。下面讨论的格路游走均建立在一个二维坐标系上，一条格路自某个整点出发，每次向 \(x\) 轴或 \(y\) 轴正方向前进一个单位长度，最后终结于某个整点。

取一个形状为 \(\lambda\) 的半标准杨图，且填入其中的正整数均 \(\le n\)，则我们断言，其可以唯一对应一组由 \(\{(-i, 1) \mid 1\le i \le \ell(\lambda)\}\) 到 \(\{(\lambda_i - i, n)\mid 1\le i \le \ell(\lambda)\}\) 的不相交格路。进一步地，这是一个双射。

证明：下面用一组不相交格路唯一构造出一个半标准杨表，将其倒过来执行就可以得到双射的另一部分。

我们使用由 \((-i, 1)\) 出发的路径构造杨表的第 \(i\) 行：从起点开始游走，每次向右走时，就向第 \(i\) 行写下该步所在纵坐标的值。这样，由于不会 \(y\) 轴负方向行走，第 \(i\) 行内必定不降。此外，由于这组格路不相交，若 \(i < j\) 则由 \((-i, 1)\) 出发的格路必定恒在由 \((-j, 1)\) 出发的格路下方，因此同列内填入的数值严格增。这也就说明了我们构造出的杨表复合要求。\(\square\)

进一步地，我们也可以对斜杨表声明类似的定理。

取一个形状为 \(\lambda/\mu\) 的半标准杨图，且填入其中的正整数均 \(\le n\)，则我们断言，其可以唯一对应一组由 \(\{(\mu_i-i, 1) \mid 1\le i \le \ell(\lambda)\}\) 到 \(\{(\lambda_i - i, n)\mid 1\le i \le \ell(\lambda)\}\) 的不相交格路。进一步地，这是一个双射。

证明：留做习题。\(\square\)

\(2.\) 生成函数

保留环节。即使，我们并不希望通过生成函数得到杨表这样精妙的组合结构的性质。“我们还有更多的例子体现出生成函数方法的局限，其蕴含的初等运算恐怕并不足够具有洞察力以支持得到，通过特殊的组合对象得出的结论的水平。”

下面的内容来自 R. P. Stanley, Increasing and decreasing subsequences and their variants。所以没有证明（

令 \(f(n, k)\) 计数大小为 \(n\)，LIS 长度不超过 \(k\) 的杨表对，即

\[f(n, k) = \sum_{\lambda \vdash n, \lambda_1 \le k} \left(f^\lambda\right)^2 \]

并对列建立生成函数

\[F_k(x) = \sum_{n\ge 0} f(n, k) \frac{x^{2n}}{(n!)^2} \]

那么，记第一类修正 Bessel 函数为 \(I_k(x)\)，我们有

\(\textbf{(定理 2) } \text{(Ira M. Gessel, 1990)}\)

\[F_k(x) = \det \{I_{i - j}(2x)\}_{i,j=1}^k \]

什么是第一类修正 Bessel 函数？

级数定义式：

\[I_v(z) = \sum_{k\ge 0} \frac{(z/2)^{2k+v}}{k!\Gamma(k + v + 1)} \]

注意到 \(I_v(z) = I_{-v}(z)\)，因此也可以写作

\[I_{k}(2x) = \sum_{n\ge 0} \frac{x^{2n + k}}{n!(n + k)!} \]

知道其满足微分方程

\[x^2 I_v''(x) + x I_v'(x) - (x^2 + v^2) I_v(x) = 0 \]

例如，当 \(k = 2\) 时就有

\[F_2(x) = \left\lvert \begin{matrix} I_0(2x) & I_1(2x) \\ I_{-1}(2x) & I_0(2x) \end{matrix} \right\rvert = I_0^2(2x) - I_1^2(2x) \]

用 mma 提一下系数得到

\[f(2n, 2) = \frac{(2n)!}{(n!)^3 (n + 2)!} \]

进一步地，可以证明 \(F_k(x)\) 是 d-finite 的。

令杨图 \(\lambda\) 的转置为 \(\lambda^{\mathsf T}\)，\(2\lambda = (2\lambda_1, 2\lambda_2, \dots)\)，我们定义下面的计数函数以及其 egf：

\[y(n, k) = \sum_{\lambda \vdash n, \lambda_1 \le k} f^\lambda, \quad Y_k(x) = \sum_{n\ge 0} y(n, k) \frac{x^n}{n!} \]

\[v(n, k) = \sum_{\lambda \vdash n, \lambda_1 \le k} f^{2\lambda^{\mathsf T}}, \quad V_k(x) = \sum_{n\ge 0} v(n, k) \frac{x^n}{n!} \]

\[z(n, k) = \sum_{\lambda \vdash n, \lambda_1 \le k} f^{2\lambda}, \quad Z_k(x) = \sum_{n\ge 0} v(n, k) \frac{x^n}{n!} \]

那么简记 \(I_k = I_k(2x)\)，可以得到

\(\textbf{(定理 3) } \text{(R. P. Stanley, Theorem 8)}\)

\[Y_{2k}(x) = \det \{I_{i - j} + I_{i + j - 1}\}_{i, j = 1}^k \]

\[Y_{2k + 1}(x) = e^x\det \{I_{i - j} - I_{i + j}\}_{i, j = 1}^k \]

\[V_{2k}(x) = \det \{I_{i - j} - I_{i + j}\}_{i,j = 1}^k \]

\[Z_{2k}(x) = \frac 14 \det \{I_{i - j} + I_{i + j - 2}\}_{i,j = 1}^k + \frac 12 \det \{I_{i - j} - I_{i + j}\}_{i,j=1}^{k - 1} \]

\[Z_{2k + 1}(x) = \frac {e^x}2 \det \{I_{i - j} + I_{i + j - 1}\}_{i,j = 1}^k + \frac {e^{-x}}2 \det \{I_{i - j} - I_{i + j - 1}\}_{i,j=1}^{k} \]