一文全解析约瑟夫环问题

　　这个问题来源于犹太人约瑟夫经历过的故事，在罗马人占领乔塔帕特后，约瑟夫和他的朋友与39 个犹太人躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人时，该人就必须自杀，然后再由下一个人重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。

然而约瑟夫和他的朋友并不想遵从这个规则，于是，他们想出新的思路：从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？如果你是约瑟夫，你会站在什么样的位置呢？下面运用以下两个方面来解决这个问题。

模拟法

循环单链表实现：

约瑟夫环问题的基本形式为：n个人围成一圈，从第一个开始报数，每报到m者将被杀掉，直至只剩一个人。

如：N=6，M=5

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 6

1 2 3 6

1 2 3

1 3

由此可以很容易想到使用循环单链表来实现。创建指针p，当指针移动m-1个位置后，就该删除下一个节点，由此类推，直至链表中只含一个节点。

代码实现：

用数组也可以实现暴力模拟约瑟夫环。但是，用模拟法有一个很明显的缺陷——时间复杂度高达O(nm)，所以下面考虑优化算法。

数学法

用递归法优化到O(n)复杂度

在Donald E. Knuth的《具体数学》中，对m=2的情况使用了递归的解决方法，并推出了一个常数表达式，使得此种情况下，算法的复杂度为常量。同时，这种思路也可以应用于n>2的情况，但无法得出常数表达式，推广后的递归算法具体的思路如下：

当n个人围成一圈并以m为步长第一次报数时，第m个人出列，此时就又组成了一个新的，人数为n-1的约瑟夫环，要求n个人的约瑟夫环问题的解，就依赖于求n-1个人的约瑟夫问题的解，要求n-2个人的约瑟夫问题的解，则依赖于求n-2个人的约瑟夫换问题的解，依次类推，直至求1个人的时候，该问题的解。

递推公式：f(N,M)=f((N-1,M)+M)%N

其中，f(N,M)表示N个人报数，每报到M时杀掉的那个人，最终胜利者的编号

推导过程：

举例：11个人参与游戏，每报到3的人被杀掉

第一轮：从No.1开始报数，No.3被杀

第二轮：No.4从1开始报数，这时可以认为队伍的头是No.4，No.6被杀

……

第九轮：No.2从1开始报数，成为队伍的头，No.8被杀

第十轮：No.2从1开始报数，……No.2被杀

胜利者为No.7

假设1：当游戏中剩余11人时，我们知道胜利者为No.6。那么下一轮剩余10人时，胜利者为No.6。因为删掉No.3后，之后的人都往前移动了3位；

假设2：当游戏中剩余10人时，我们知道胜利者为No.3。那么下一轮剩余11人时，胜利者的编号是几？该问题可以看作假设1的逆过程，因此：f(11,3)=f(10,3)+3

为防止数组越界，对当前人数取模：

f(11,3)=(f(10,3)+3)%11

假设3：游戏中剩余N人，报到M者被杀，数组移动情况为：每杀一个人，下一个人成为头，相当于把数组向前移动M位。若已知剩余N-1人时胜利者下标为，则N个人时，就是往后移动M位。因此推导出递推公式：

f(N,M)=(f(N-1,M)+M)%N

代码实现

typedef long long LL;

LL kill(LL n,LL m)

{

 LL i,p=0;

 if(m==1) return n;

  else

{      

for(i=2;i<=n;i++)

{p=(p+m)%i;}

return p+1;}

}

优化递推：复杂度降至O(m)

观察以上代码中的p,p=(p+m)%i，当i比较大时，m远远小于i。因此队伍每次不止可以移动一个m位，可以一次移动x*m位来跳过x个i。当m远远小于n时，效率会更高。对于当前的p1，设：p1+x*m=i，当i+x>=n时，表示这次移动位数已经超过了n。令更新后的p2=p1+(n-i)*m，并且i=n来跳出本次循环。使用以上算法，运行速度将与游戏人数没有关系。

代码实现

那么……还可以变得更简单吗？我们先来看这道题目

问题为约瑟夫环问题的经典形式，但要注意到，在n可达10^12的情况下，再运用以上的递归法显然会超时。因此我们要重新考虑。

假设初始编号为1，2，······，n，现在考虑一种新的编号方式。第一个人不会被踢掉，那么他的编号从n开始往后加1，变成n+1，然后第二个人编号变为n+2，直到第q个人，他被踢掉了。然后第q+1个人编号继续加1，变成了n+q，依次下去。考虑当前踢到的人编号为kq，那么此时已经踢掉了k个人，所以接下去的人新的编号为n+k(q-1)+1……

所以编号为kq+d的人编号变成了n+k(q-1)+d，其中1<=d<q。直到最后，可以发现活下来的人编号为qn，问题是怎么根据这个编号推出他原来的编号？以n=10,q=3为例，下图就是每个人新的编号：