高等数学（微积分） - 各类书籍中导数的定义

在高等数学学习中，经历了初步的极限和无穷学习后，第一个重要的概念就是导数。以下是导数的定义和几何意义：

 

一、定义

为了能够从不同角度理解，特意摘抄不同教材和出处对于导数的定义，实质上来讲，都是描述同一个东西。

1. 网络上的描述：

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x₀处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x₀处的导数，记作① ；② ；③ ， 即

*来自百度百科

 

2. 大学教材的描述：

*来自同济版高等数学上，75页

 

3. 英文的描述如下 (Wiki和两本书)：

In mathematics, the derivative of a function of a real variable measures the sensitivity to change of the function value (output value) with respect to a change in its argument (input value). Derivatives are a fundamental tool of calculus. For example, the derivative of the position of a moving object with respect to time is the object's velocity: this measures how quickly the position of the object changes when time advances.

* quote from Wikipedia

* quote from Calculus Early Transcendentals 10e

* quote from Calculus Schaum's Outline

 

二、几何意义

 

根据以上定义，结合函数本身的性质，我们可以得到导数的相关几何意义：函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

 

数学是一个精妙的学科，她的相关概念和逻辑，只要不与自身的定义所矛盾，可以适用于所有的情况。