块状数组简述

参考资料：https://oi-wiki.org/ds/block-array/

分块思想是一种广泛的思想，树状数组与线段树实际上都是使用了该种思想。但是，在实际问题中，我们常常会遇到一些更为灵活的问题，用线段树或者树状数组并不是那么好用。这里就需要我们化零为整，使用灵活分块的思想来解决。

举个例子，给定一数组，对其任意区间进行求和或者修改。假设该数组长度为N，我们可以选择以S为基准，将其分为N/S块，并记录每一分块的区间和B_i。虽然上式不一定是整除关系，但是并不重要。

讨论选定区间是否在同一块内的情况。如果在同一块内，直接进行块内修改与查询即可，时间复杂度为O（S）；如果不在同一块，则查询修改区间被分为首和尾的不完整区间和中间的若干完整区间。我们对中间的完整区间进行成块修改查询，再对两端的不完整块进行查询修改，时间复杂度为O（N/S+S）。通过均值不等式易知当S=N^0.5时间复杂度上界最优，为O（N^0.5）。

解答上述例子的代码如下：

 1 #include <cmath>
 2 #include <iostream>
 3 using namespace std;
 4 const int N=5e4+5;
 5 const int len=sqrt(N);
 6 const int C=N/len+5;
 7 int a[N],b[229],s[229];//a为原始数组，b记录每一块的和，s 
 8 int n,k;
 9 void add (int l,int r,int num){
10     int l_code = l/len;
11     int r_code = r/len;
12     if (r_code-l_code<=1){
13         for (int i=l;i<=r;i++)
14             a[i]+=num;
15     }
16     else{
17         for (int i=l;i<(l_code+1)*len;i++)
18             a[i]+=num;
19         for (int i=r_code*len;i<=r;i++)
20             a[i]+=num;
21         for (int i=l_code+1;i<=r_code-1;i++)
22             s[i]+=num;
23     }
24 }
25 int sum(int l,int r){
26     int l_code = l/len;
27     int r_code = r/len;
28     int ans=0;
29     if (r_code-l_code==0){
30         ans+=s[l_code]*(l-r);
31         for (int i=l;i<=r;i++)
32             ans+=a[i];
33         return ans;    
34     }
35     if (r_code-l_code==1){
36         ans+=s[l_code]*((l_code+1)*len-l);
37         for (int i=l;i<(l_code+1)*len;i++)
38             ans+=a[i];
39         ans+=s[r_code]*(r+1-(r_code)*len);
40         for (int i=r_code*len;i<=r;i++)
41             ans+=a[i];
42         return ans;
43     }
44     if (r_code-l_code>1){
45         ans+=s[l_code]*((l_code+1)*len-l);
46         for (int i=l;i<(l_code+1)*len;i++)
47             ans+=a[i];
48         ans+=s[r_code]*(r+1-(r_code)*len);
49         for (int i=r_code*len;i<=r;i++)
50             ans+=a[i];
51         for (int i=l_code+1;i<=r_code-1;i++)
52             ans+=(b[i]+s[i]*len);
53         return ans;
54     }
55 }
56 int main(){
57     cin>>n;
58     int sum1=0;
59     for (int i=0;i<n;++i){
60         cin>>a[i];
61         if (i%len==(i-1)%len)
62             sum1+=a[i];
63         else{
64             b[k++]=sum1;
65             sum1=0;
66         }
67     }
68     b[k++]=sum1;
69     add(0,2,2);//需要测试的话自行修改，需注意数组下标从0开始 
70     cout<<sum(1,4);//需要测试的话自行修改，需注意数组下标从0开始 
71     return 0;
72 }