HJB方程简述

参考资料：维基的哈密顿-雅克比-贝尔曼方程条目。有条件的同学可以自行查看，效果比本文要好一些。文末也会给出相关更深入的资料供大家学习。

作为强化学习的一个基础思想，HJB方程从大框架概述了控制优化的方向。这里对其推导与应用进行简述。

定义如下变量：为过程价值函数，其中S(t)为在t时刻的状态函数，A(t)为在t时刻的动作函数。

为在t时刻状态为S(t)的终点值函数。

 

我们可以定义如下过程：在[0,T]时间段，最终值函数的表现形式如下：

 而我们的优化目标就是保证右端公式的最小化。

HJB偏微分形式推导：

考虑如下表达形式：

 

 对右端的进行泰勒展开，可得到以下形式：

 

 与上式联立可消去，然后去除dt，可得如下优化形式：

 

 

 JCB方程微分形式推导得证。

如何求解：

一般采用逆向归纳法，即从t=T推导至t=0，利用动态规划的思想求解。

 HJB方程相关资料：

链接：https://pan.baidu.com/s/1pBom-F4cLqHVA3_u3XSOyA?pwd=4s5e
提取码：4s5e