牛顿迭代法简介

参考资料：

牛顿迭代法是一种求方程f(x)=0近似解的一种方法。

假设我们现在得到的近似解是x_i，然后我们画出在（x_i，f（x_i））点与曲线相切的直线，该直线与x轴相交会得到一个x_i+1。根据导数与直线斜率的关系，我们可以得到：f'(x_i)=（f(x_i)）/（x_i-x_i+1）。整理后得到如下递推式：x_i+1=x_i-f(x_i)/f'(x_i)。根据本递推式我们可以知道如果曲线平滑，随着迭代次数的增加，x_i将愈发接近方程的解。牛顿迭代法的收敛率是平方级的，即每次迭代精度会翻倍。然而在方程有多个解时可能最后收敛的结果只会确定少数的解。

应用一：求解平方根

我们可将问题化简为求x²-n=0的根的问题。代入上述递推式，我们得到xi+1=（xi+n/xi）/2

在具体实现时只需注意设定合适的精度即可。

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
double abs(double x){
    if (x>0)
        return x;
    else
        return -x;
} 
double sqrt_newton (double n){
    const double exp=1e-15;
    double x=1;
    while (true){
        double x1=(x+n/x)/2;
        if(abs(x1-x)<exp)break;
        x=x1;
    }
    return x;
}
int main (){
    double n=2;
    double x1=sqrt_newton(n);
    printf("%llf",x1);
    return 0;
}

例题：

LeetCode 69. x 的平方根

 

截图如下：

 代码如下：

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        double x0=x;
        double x1=1;
        int t=50;
        double x2;
        while(t--){
            x2=(x1+x0/x1)/2;
            x1=x2;
        }
        return (int)x1;
    }
};

应用二：求解整数平方根

我们仍然考虑一个类似于牛顿迭代的过程，但需要在边界条件上稍作修改。如果 x在迭代的过程中上一次迭代值得近似解变小，而这一次迭代使得近似解变大，那么我们就不进行这次迭代，退出循环。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int isqrt_newton (double n){
    bool de=false;//判断是否为递降 
    int x=1;
    while (true){
        double x1=(x+n/x)/2;
        if(x==x1||x1>x&&de)break;//如果上一次是递减，这一次结果增加，则退出 
        de=x1<x; 
        x=x1;
    }
    return x;
}
int main (){
    int n=4;
    int x1=isqrt_newton(n);
    printf("%d",x1);
    return 0;
}

应用三：高精度平方根

迭代方法不变，但因为迭代次数较多我们需要选取特定的x₀=2^{[0.5*log₂n]}作为我们的迭代初值，这样可以快速逼近近似值。