2020 Summer #2

0x01 Wooden Fence

每种木板可以拆成两种木板，分别对应转不转 \(90^\circ\)。

设 \(f(i, j)\) 表示已经搭了长度为 \(i\) 的栅栏，用的最后一块木板的种类为 \(j\) 的方案数。

0x02 Fragile Bridges

设 \(f(i, \text{Mask})\) 表示从 \(i\) 出发的最优解，其中 \(\text{Mask}\) 的第一位表示方向，第二位表示最后是否返回 \(i\)。

则 \(\text{ans} = \displaystyle\max_{1 \le i \le n} \{ f(i, 00) + f(i, 11), f(i, 01) + f(i, 10) \}\)。

0x03 Little Elephant and Retro Strings

设 \(f(i)\) 表示前缀 \(s_{[1, i]}\) 中有且仅有 \(s_{[i-k+1, i]}\) 一个合法 B 串的方案数，\(g(i)\) 表示后缀 \(s_{[i, n]}\) 中有且仅有 \(s_{[i, i+k-1]}\) 一个合法 W 串的方案数。

则 \(\text{ans} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \left( \displaystyle\sum _{j=1}^{i-1} \left( f(j) \cdot 2^{Cnt(j+1, i-1)} \right) \cdot g(i) \right)\)，其中 \(Cnt(l, r)\) 表示 \(s_{[l, r]}\) 中 X 的个数。

设 \(F(i)\) 表示前缀 \(s_{[1, i]}\) 中没有合法 B 串的方案数，则 \(F(i) = F(i-1) \cdot 2^{Cnt(i, i)} - f(i)\)。

若 \(s_{i-k}\) 不为 B，且 \(s_{[i-k+1, i]}\) 中没有 W，有 \(f(i) = F(i-k-1)\)，否则 \(f(i) = 0\)。

\(g(i)\) 的计算与 \(f(i)\) 类似。

0x04 Word Cut

如果存在合法的变换，显然可以一次变换将 \(start\) 变成 \(end\)，设这样的变换数为 \(\text{cnt}\)。

设 \(f(i, \text{Mask})\) 表示 \(i\) 次变换后的方案数，\(0\) 表示变换后的串是 \(end\)，\(1\) 表示不是。

0x05 George and Job

设 \(f(i, j)\) 表示前 \(i\) 个数中选了 \(j\) 个区间的最大和。

0x06 Painting Square

设 \(f(i, j)\) 表示边长为 \(i\) 的正方形还需要操作 \(j\) 次的方案数。

显然 \(f(2i+1, j_1+j_2+j_3+j_4+1) = f(i, j_1) \cdot f(i, j_2) \cdot f(i, j_3) \cdot f(i, j_4)\)，复杂度 \(O(n k^4)\)。

考虑优化转移，设 \(g(2i+1, j_1+j_2) = f(i, j_1) \cdot f(i, j_2)\)，则 \(f(i, j_1+j_2) = g(i, j_1) \cdot g(i, j_2)\)，复杂度 \(O(nk^2)\)。

设边长为 \(i\) 的正方形可以递归 \(D(i)\) 层，则 \(D(1) = D(2i) = 0, D(2i+1) = D(i) + 1 \ (i \in \N_ +)\)。

显然答案只与 \(Dep(n)\) 有关而与 \(n\) 无关，则只对深度 DP 即可，复杂度 \(O(\log n \cdot k^2)\)。

设交点为 \((x, y)\)，则有 \(\begin{cases} \text{Iahub} : (x-1,y) \to (x+1, y) \\ \text{Iahubina} : (x, y+1) \to (x, y-1) \end{cases}\) 或 \(\begin{cases} \text{Iahub} : (x,y-1) \to (x, y+1) \\ \text{Iahubina} : (x-1, y) \to (x+1, y) \end{cases}\)。