动态规划(Dynamic Programming)

dp是什么?

　　dp是一种编程方法；将一个问题拆成几个子问题，分别求解这些子问题，即可推断出大问题的解。

• 无后效性

　　"未来与过去无关"，这就是无后效性。如果给定某一阶段的状态，则在这一阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响；

• 有重复的子问题

　　子问题会被求解多次；

• 最优子结构

　　大问题的最优解可以由小问题的最优解推出，这个性质叫做“最优子结构性质”；

什么时候可以用dp?

　　 根据以上三个概念，我们如何判断一个问题能否使用dp解决呢？能将大问题拆成几个小问题，且满足无后效性、最优子结构性质

• 计数问题：如用n种资源完成某个方法的数量有多少种；
• 优化：如达成某成目的需要多少钱或者走多少走的问题，这些问题我们在用递归或搜索求解时，因为会枚举所有的可能的路经，当时间复杂度达到如O(2^n)和n的规模很大时，就可以使用dp来进行降维；

dp的通常实现的方法

• Top-down，记忆化递归，从大到小；例如一开始要求解f(10)，那f(10)=f(8)+f(9)，求解过的会放到内存里(map,array,list等)；
• Bottom-up，通常意义上我们定义的DP，从小到大；例如要先求解到dp[1]，才能求解dp[2]，再能求解dp[3]；

dp的典型应用

• Fibonacci sequence (code)
• LCS：最长公共子序列
• Knapsack
• Floyd-Warshall
• Bellmen-Ford