单调队列(monotonic queue)列与单调栈的学习

我们先回顾一下，无论是栈还是队列，我们把元素进入的一端称作“尾部”，另一端称作“头部”。

对于栈，头部即是栈底，尾部即是栈顶。

对于队列，头部对应队首，尾部对应队尾。

单调栈

我们都已经非常熟悉栈了，它具有先入后出的性质。而单调栈为了满足单调的要求，增加了一下性质：

• 从栈顶到栈底的元素是严格递增 或 递减

但这样和我们正常的流程有一定矛盾之处，如果栈中是5 4 3 2 1, 如果压入3要怎么办？原来我们只需要添加到栈尾即可，现在则需要将 3 2 1 弹出，再压入3，栈变成 5 4 3。

注：弹出的元素我们直接舍弃掉。

具体进栈过程

• 对于单调递增栈，若当前进栈元素为e，从栈顶开始遍历元素，把小于e或者等于e的元素弹出栈，直接遇到一个大于e的元素或者栈为空为止，然后再把e压入栈中；
• 对于单调递减栈，则每次弹出的是大于e或者等于e的元素；

一个单调递增栈的例子：

进栈元素分别为3,4,2,6,4,5,2,3

第i步	操作	结果
1	3进栈	3
2	3出栈，4进栈	4
3	2进栈	4 2
4	2、4出栈，6进栈	6
5	4进栈	6 4
6	4出栈，5进栈	6 5
7	2进栈	6 5 2
8	2出栈，3进栈	6 5 3

 单调队列

对于单调队列，从单调栈的性质我们可以作推出：

• 从队列头到队列尾的元素是严格递增

添加元素e到队尾时，我们采取的解决方法同样是，先从队尾删去小于等于e的元素。

注意，普通的队列queue是不支持从队尾删除的，我们需要使用双端队列deque，即有两个指针，一头一尾。

队列的大小问题

在谈及单调栈时，我略去了栈的大小这一个问题，因为在实际使用中，栈就通常没有大小的概念。而对于队列，它的大小就很重要了。

如果队列满了，我们的解决方法是，将队列头的元素弹出，再添加新的元素到队列尾。

具体入队过程

• 对于单调递增队列，设当前准备入队的元素为e，从队尾开始把队列中的元素逐个与e对比，把比e大或者与e相等的元素逐个删除，直到遇到一个比e小的元素或者队列为空为止，然后把当前元素e插入到队尾。
• 对于单调递减队列也是同样道理，只不过从队尾删除的是比e小或者与e相等的元素。

一个递增单调队列的例子

队列大小不能超过3，入队元素依次为3,2,8,4,5,7,4,6

第i步	操作	结果
1	3入队	3
2	3从队尾出队，2入队	2
3	8入队	2 8
4	8从队尾出队，4入队	2 4
5	5入队	2 4 5
6	2从队头出队，7入队	4 5 7
7	7从队尾出队，6入队	4 5 6
8	6、5、4从队尾出队，4入队	4

 

详细参考