最小生成树

什么是最小生成树？

      一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有n个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用Kruskal算法或Prim算法求出。

　　在一给定的无向图g=(V,E)中，(u,v)代表连接顶点u与顶点v的边，而w(u,v)代表此边的权重，若存在T为E的子集，且为无循环田图，使得w(t)最小，则此T为G的最小生成树。最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

最小生成树的应用

　　生成树和最小生成树有许多重要的应用。

　　例如要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这n个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目的是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

图的入度和出度

1.构建图的邻接矩阵

示例图：

根据上面示例图的结构，是顶点与顶点之间的连接关系，又带有权值，所以我们可以用邻接矩阵来表示图中顶点的关系：

• 矩阵中的值代表顶点与顶点之间的权值，由于示例是一个无向图，所以这个矩阵是以对角线对称的
• 我们可以将矩阵看成一个二维数组，因此可以创建出这个图的数据结构：

　　v0可以定义为:

 val graph0 = intArrayOf(
        0,
        10,
        MAX_WEIGHT,
        MAX_WEIGHT,
        MAX_WEIGHT,
        11,
        MAX_WEIGHT,
        MAX_WEIGHT,
        MAX_WEIGHT
    )

　　其它点如此类推；

2.入度与出度

• 顶点的出边条数称为该顶点的出度
• 顶点的入边条数称为该顶点的入度
• 在矩阵中某个点的入度和出度即为横向和纵向的有效权值个数 

/**
     * 获取某个顶点的出度
     * */
    fun getOutDegree(index: Int): Int {
        var degree = 0
        for (i in 0 until vertexSize) {
            val weight = matrix[index][i]
            if (weight > 0 && weight < MAX_WEIGHT) {
                degree++
            }
        }
        return degree
    }

    /**
     * 获取某个顶点的入度
     * */
    fun getInDegree(index: Int): Int {
        var degree = 0
        for (i in 0 until vertexSize) {
            val weight = matrix[i][index]
            if (weight > 0 && weight < MAX_WEIGHT) {
                degree++
            }
        }
        return degree
    }

Prim算法

 算法思路：

1. 定义一个临时的一维数组，用于存放可用的连接边，数组下标为顶点序号，值为权值
2. 任选一个点作为起点，以起点的所有权值对数组进行初始化
3. 找出数组中最小权值的边，即为最小生成树的一条有效边
4. 将找到的最小边在数组赋值为0，代表已经使用过。并将数组与找到顶点的所有边进行比较，若顶点的边的权值比当前存放的可用边的权值小，则进行覆盖
5. 重复循环2，3，4的操作直至遍历完所有顶点

算法参考