出栈序列研究

作者： John Waken
邮箱： JohnWaken@163.com
转载请著明： http://www.cnblogs.com/john-d/archive/2009/12/29/1635161.html

在学习数据结构的时候，老师出了这么个题目：1，2，3，4，5，6，7这七个数按顺序入栈，出栈序列有几种？当时我是先画了几个，比如1，2，3，4，5，6，7肯定可以，还有7，6，5，4，3，2，1也行，但是3，1，2，4，5，6，7就不合法。先考虑简单的特殊情况是一种很好的思考方法，《concrete mathematics》就说过" smart mathematicians are not ashamed to think small ”，当然啦，我只是一个little programmer，不过每个人都应该提醒自己 think small。

还有另一个非常重要的思考方法——递归，特别是在计算机算法领域，我认为它是最重要的。递归首先要求把问题一般化，此题应该泛化为这样：1，2，3，... ，n这n个数依次入栈，出栈序列有几种？

递归的关键在于构造第推关系式，所以我们要定义一个描述结论的式子，在这里用 $C_{n}$ 表示n个数依次入栈时出栈序列的个数。构造第推式就悲剧了，当时我推出它是一个类似于Catalan第推式的式子，那个兴奋哟！但是现在怎么也想不起来了。哎，人生最痛苦的事莫过于此，如果哪位仁兄知道怎么推，一定要用email我啊。

没办法，我只能换一种方法了。用决策的思想，把解决问题的过程看成是决策的过程。假设编号为1，2，3，4，5，6，7的七个学生依次站成一列，对面是一个栈。把自己想象成教官，你可以向学生施发两种号令：pop和push。当你喊push时对头的学生就走进栈里，如果对列中没人你就犯了一个错误，把它记为 $\alpha$ 。喊pop时栈顶的学生就出来，如果栈是空的，那么你也犯错了，把此错误记为 $\beta$ 。你现在要用口令（push还是pop来指导学生的动作（入栈还是出栈），每个学生都入栈一次且出栈一次，所以总共要喊14次。

这样问题就转化为一个决策模型了，教官连续喊14次口令，每次都要决定是喊push还是pop，然后学生会根据指示进行动作。如果教官一次错误都没犯，出栈的学生序列就是一个解，一个正确的决策序列对应了一个解。还是看一些例子吧（用1表示push指令，0表示pop指令）：

     指令序号     1   2   3   4   5   6   7 8 9 10 11 12   13   14
     指令内容     1   0   1   0   1   0   1   0   1   0    1    0    1    0
     出栈序列         1 2 3 4      5         6         7
     说明 1，2，3，4，5，6，7是一个解

   指令序号     1   2   3   4   5   6   7 8 9 10 11 12 13 14
     指令内容     1   1 1   0   0 0   1   1 1   0    0    0    1    0
     出栈序列           3 2 1           6    5    4         7
   说明 3，2，1，6，5，4，7是一个解

     指令序号     1   2   3   4   5   6   7 8 9 10 11 12 13   14
     指令内容     0 0   1   0   1   0   1   0   1   0    1    0    1    0
     出栈序列     错
   你一上来就发个pop指令肯定出错啊，因为这时候栈里一个学生都没有

     指令序号     1   2   3   4   5   6   7 8 9 10 11 12 13   14
     指令内容     1   1 1   1 1   1 1   1 1   0    1    0    1    0
     出栈序列                                         错
     老哥，前七次你已经把学生都叫到栈里去了，队伍里已经没人了！

现在来找找决策序列应该满足什么条件。首先每个学生都进栈出栈各1次，所以push指令和pop指令应该各占一半。如果有n个学生，序列中就有n个1和n个0。还有，到任意时刻为止你发送的push指令的个数应该不少于pop指令数，否则就会犯错误 $\beta$ ，反应在序列中就是，对任意k来说，序列前k个数所含1的个数一定不能少于0。哈哈，这样就得到了此题的数学本质：
     7个0，7个1组成一个序列（下标从1开始），要求对任意k来说，前k个数中，1的个数不能少于0。问这样的序列总共有多少个？
再进一步一般化为：
   n个0，n个1组成一个序列（下标从1开始），要求对任意k来说，前k个数中，1的个数不能少于0。问这样的序列总共有多少个？

我的能力就到此为止了，这个数学问题我解决不了，Knuth的《TAOCP》卷一给出了解答，利用了反向思维和一一对应的思想。
n个0和n个1的排列总数为 $C_{2n}^{n}$ ，先把不满足条件的序列数求出来，然后再用 $C_{2n}^{n}$ 减掉就行了。对任意一个不满足条件的序列，我们找出第一个满足如下条件的m：前m个数中0比1多1个。把这m个数反转，就变成了前m个数中0比1少一个，而整个序列中，0比1少2个。不满足的条件的序列和由n-1个0、n+1个1组成的序列一一对应，总数为 $C_{2n}^{n-1}$

所以结果是 $C_{2n}^{n} -\quad C_{2n}^{n-1} \quad\quad= \quad\quad \frac{C_{2n}^{n}}{n+1}$ ，果然是一个catalan数。

终于结束了，n个数依次进栈时，出栈序列是n的catalan数。这个结论没什么，重要的是思考过程，特别是怎样把问题转化为一个数学问题。上面那个数学题的证明我描述的很不严谨，多数都是想当然，如果真要写证明的话会很复杂，有兴趣可以发email给我。由包建强兄提醒，我利用这个过程（注意是思考过程，从结论中你得不到任何东西）写个算法吧。

题目描述：

整数1到n按顺序入栈，请判断某个出栈序列是否可能存在。

Input:

第1行是序列的元素个数n(0<n<1000)

第2行是出栈的顺序a1,a2,...,an (ai互不相同且1<=ai<=n)

Outpu:

若出栈序列能存在就输出yes，否则输出no

poppush.c

1 #include <stdio.h>
2
3  #define MAX_SIZE 1000
4
5 int pop[MAX_SIZE+1];
6 int flag[MAX_SIZE+1];
7
8 /*
9  * match程序是基于以下结论.
10  * 一个合法的pop序列满足这样的关系:
11  * 对任何两个相邻的数(ai, ai+1)，
12  * 若ai+1 > ai，则ai+1 大于前面所有的数
13  * 若ai+1 < ai，则比ai+1小1的数肯定在前面已经出现
14  *
15  * 这个结论我已经严格证明了，你知道我当时有多兴奋吗!
16  */
17 int match(int pop, int size)
18 {
19     int i;
20     int max = 0;
21
22     memset(flag, 0, sizeof(flag)) /* 所有标志都清0 */
23
24     for (i=1; i<=size; i++) {
25         if (pop[i]>pop[i-1] && pop[i]>max) {
26             max = pop[i];
27         } else if (pop[i]<pop[i-1] && flag[pop[i-1]]) {
28             flag[i] = 1;
29         } else {
30             return 0;
31         }
32     }
33     return 1;
34 }
35
36 int main(void)
37 {
38     int n;
    int i;
39
40     /* 读入pop序列，下标从1开始 */
41     scanf("%d", &n);
42     for (i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &pop[i]);
43
44     /*
45      * 我很喜欢用数组第0项作哨兵，
46      * 它让程序更一致，
47      * 简单性和一致性应该是所有软件追求的目标。
48      */
49     pop[0] = 0;
50
51     if (match(pop, n)) printf("yes");
52     else printf("no");
53
54     return 0;
55 }

posted on 2009-12-29 16:32 John Waken 阅读(5769) 评论(6) 编辑收藏举报

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