大 Θ记号、大 Ω记号、空间复杂度、时间复杂度

• 最坏情况：以大O记号形式表示的时间复杂度，给出了一个算法的最坏情况，即--对于规模为n的任意输入，算法的运行时间都不会超过O(f(n))
• 最好情况 ：大 Ω记号-->如果存在正的常数c和函数g(n)，对任意n>>2，有T(n) > c * g(n)，即认为：在n足够 大后，g(n)给出了T(n)的一个下界，记为：

                                                                                                         T(n) =Ω (g(n))

• 大 Θ记号-->存在正的常数c1和c2，以及函数h(n)，对任意n>>2，有 c1*h(n) < T(n) < c2 * h(n)，即认为：在n足够大后，h(n)给出了T(n)的一个确界，记为：

                                                                                                          T(n) =Θ (g(n))

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

• 空间复杂度：
• • 空间复杂度通常不计入原始输入本身所占用的空间
  • 由于：
  • • 任意算法的任何一次运行过程中所消耗的存储空间，都不会多于其间所执行基本操作的累积次数；
    • 每次基本操作所涉及的存储空间都不会超过常数规模；
    • 即使每次基本操作所占用或访问的存储空间都是新开辟的，整个算法所需的空间总量，也不过与基本操作的次数同阶；

                    故：时间复杂度本身就是空间复杂度的一个天然上界

• • 当然，由时间复杂度确定的平凡上界不能令人满意，则可更为精细地考察不同算法的空间
• 复杂度分析：
• • O(1):常数时间复杂度算法
  • • 不含转向（循环调用、递归等）必顺序执行，即使O（1），反之则不一定
  • O(logn)：对数时间复杂度
  • • 常底数无所谓：
      
    • 常数次幂无所谓：
      
  • 考虑问题：对于任意非负整数，统计其二进制中数位1的总是
  • • 一般方法：

　　　　int countOnes (unsinged int n) {

    　　　　int ones = 0;

    　　　　while (n > 0) {

        　　　　if (1 & n) {

           　　　　 ones += 1;

        　　　　}

      　　　　  n = n >> 1;

    　　　　}         

    　　　　return ones;

　　　　}

 

由右移位运算性质，n缩减至0，需要
次运算，即该算法的时间复杂度为：

                                         

 

                                                                                   

• • 对数多项式复杂度：凡运行时间可以表示和度量为

     

    （其中c>0），则 称为“对数多项式时间复杂度的算法”