5-32 哥尼斯堡的“七桥问题” (25分) 欧拉回路

题目描述：

哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它包含两个岛屿及连接它们的七座桥，如下图所示。

可否走过这样的七座桥，而且每桥只走过一次？瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler，1707—1783)最终解决了这个问题，并由此创立了拓扑学。

这个问题如今可以描述为判断欧拉回路是否存在的问题。欧拉回路是指不令笔离开纸面，可画过图中每条边仅一次，且可以回到起点的一条回路。现给定一个无向图，问是否存在欧拉回路？

输入格式:

输入第一行给出两个正整数，分别是节点数NN (1\le N\le 10001≤N≤1000)和边数MM；随后的MM行对应MM条边，每行给出一对正整数，分别是该条边直接连通的两个节点的编号（节点从1到NN编号）。

输出格式:

若欧拉回路存在则输出1，否则输出0。

输入样例1:

6 10
1 2
2 3
3 1
4 5
5 6
6 4
1 4
1 6
3 4
3 6

输出样例1:

1

输入样例2:

5 8
1 2
1 3
2 3
2 4
2 5
5 3
5 4
3 4

输出样例2:

0



第一次我不自量力采用了DFS深度搜索的方式解决，果然最后两个测试点超时，下面 是我第一次尝试的代码：

#include<iostream>
#include<vector>
#define MAX 1000
using namespace std;
int g[MAX][MAX];
int from;
int been[MAX][MAX];
int cnt = 1;
void clear(int n)
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            been[i][j] = 0;
}
bool DFS(int fr, int n, int m)
{
    //int been[MAX][MAX];
    for (int j = 1; j <= n; j++)
    {
        if (j != fr && been[fr][j] == 0 && g[fr][j] == 1)
        {
            //cout<<"fr :"<<fr<<" to "<<j<<endl;
            //cout<<"cnt is "<<cnt<<endl; 
            if (j == from)
            {
                if (cnt == m) return true;
                //cout<<"减啦"<<endl; 
                //cnt--;
                continue;
            }
            cnt++;
            been[fr][j] = been[j][fr] = 1;
            if (cnt == m) return true;
            return DFS(j, n, m);
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    int n, m, a, b;
    cin >> n >> m;
    int temp = m;
    while (temp--)
    {
        cin >> a >> b;
        g[a][b] = g[b][a] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        clear(n);
        cnt = 1;
        from = i;
        if (DFS(i, n, m)) {
            cout << 1;
            return 0;
        }
    }
    cout << 0;
    return 0;
}

 

在网上搜索得知这是有关欧拉回路的知识：

欧拉回路：图G，若存在一条路，经过G中每条边有且仅有一次，称这条路为欧拉路，如果存在一条回路经过G每条边有且仅有一次，

称这条回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图成为欧拉图。

判断欧拉路是否存在的方法

有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。

无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。

判断欧拉回路是否存在的方法

有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。

无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。

程序实现一般是如下过程：

1.利用并查集判断图是否连通，即判断p[i] < 0的个数，如果大于1，说明不连通。

2.根据出度入度个数，判断是否满足要求。

3.利用dfs输出路径。

正确代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<fstream>
#include<memory>
#include<list>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
#define MAXN  1003
#define LLL 1000000000
#define INF 1000000009
/*
DFS能搜到所有的点
*/
vector<int> E[MAXN];
int pre[MAXN],n,m;
int find(int x)
{
    if (pre[x] == -1)
        return x;
    else
        return pre[x] = find(pre[x]);
}
void mix(int x, int y)
{
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx != fy)
    {
        pre[fy] = fx;
    }
}
int main()
{
    memset(pre, -1, sizeof(pre));
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int f, t;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        E[i].clear();
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d", &f, &t);
        mix(f, t);
        E[f].push_back(t);
        E[t].push_back(f);
    }
    int cnt = 0, num = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (E[i].size() % 2)
            cnt++;
        if (find(i) == i)
            num++;
    }
    if (cnt == 0 && num == 1)
        printf("1\n");
    else
        printf("0\n");
    return 0;
}