算法—2.插入排序

1.基本思想

通常人们整理桥牌的方法是一张一张的来，将每一张牌插入到其他已经有序的牌中的适当位置。在计算机的实现中，为了给要插入的元素腾出空间，我们需要将其余所有元素在插入之前都向右移动一位。这种算法叫做插入排序。

与选择排序一样，当前索引左边的所有元素都是有序的，但它们的最终位置还不确定，为了给更小的元素腾出空间，它们可能会被移动。但是当索引到达数组的右端时，数组排序就完成了。

和选择排序不同的是，插入排序所需的时间取决于输入中元素的初始顺序。例如，对一个很大且其中的元素已经有序(或接近有序)的数组进行排序将会比对随机顺序的数组或是逆序数组进行排序要快得多。

2.具体算法

/**
 * 插入排序
 * @author huazhou
 *
 */
public class Insertion extends Model{
	//将a[]按升序排列
	public void sort(Comparable[] a){
		int N = a.length;
		//将a[i]插入到a[i-1]、a[i-2]、a[i-3]...之中
		for (int i = 1; i < N; i++) {
			for (int j = i; j > 0 && less(a[j], a[j-1]); j--) {
				exch(a, j, j-1);
			}
		}
	}
}

对于0到N-1之间的每一个i，将a[i]与a[0]到a[i-1]中比它小的所有元素依次有序地交换。在索引i由左向右变化的过程中，它左侧的元素总是有序的，所以当i达到数组的右端时排序就完成了。

3.算法分析

命题：对于随机排列的长度为N且主键不重复的数组，平均情况下插入排序需要~N²/4次比较以及~N²/4次交换。最坏情况下需要~N²/2次比较和~N²/2次交换，最好情况下需要N-1次比较和0次交换。

证明：通过一个NxN的轨迹表可以很容易就得到交换和比较的次数。最坏情况下对角线之下所有的元素都需要移动位置，最好情况下都不需要。对于随机排列的数组，在平均情况下每个元素都可能向后移动半个数组的长度，因此交换总数是对角线之下的元素总数的二分之一。

比较的总次数是交换的次数加上一个额外的项，该项为N减去被插入的元素正好是已知的最小元素的次数。在最坏情况下(逆序数组)，这一项相对于总数可以忽略不计；在最好情况下(数组已经有序)，这一项等于N-1.

4.总结

我们要考虑的更一般的情况是部分有序的数组。倒置指的是数组中的两个顺序颠倒的元素。比如EXAMPLE中有11对倒置：E-A、X-A、X-M、X-P、X-L、X-E、M-L、M-E、P-L、P-E以及L-E。如果数组中倒置的数量小于数组大小的某个倍数，那么我们说这个数组是部分有序的。下面是几种典型的部分有序的数组：

•数组中每个元素距离它的最终位置都不远；

•一个有序的大数组接一个小数组；

•数组中只有几个元素的位置不正确。

插入排序对这样的数组很有效，而选择排序则不然。事实上，当倒置的数量很少时，插入排序很可能比本章中的其他任何算法都要快。总的来说，插入排序对于部分有序的数组十分高效，也很适合小规模数组。这很重要，因为这些类型的数组在实际应用中经常出现，而且它们也是高级排序算法的中间过程。

命题：插入排序需要的交换操作和数组中倒置的数量相同，需要的比较次数大于等于倒置的数量，小于等于倒置的数量加上数组的大小再减一。

证明：每次交换都改变了两个顺序颠倒的元素的位置，相当于减少了一对倒置，当倒置数量为0时，排序就完成了。每次交换都对应着一次比较，且1到N-1之间的每个i都可能需要一次额外的比较（在a[i]没有达到数组的左端时）。

 

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