《统计学习方法》：第三章 K 近邻算法
k -- NN
k--NN 是一种基本分类和回归方法。对新实例进行分类时，通过已经训练的数据求出 k 个最近实例，通过多数表决进行分类。故 k 邻近算法具有不显式的学习过程。
三个基本要素：k 值选择，距离度量，分类决策规则。
1. k 近邻算法
原理：给定一个训练集，对于新输入的实例，在训练集中找到与其相似的 k 个实例，这 k 个实例的多数属于某一类，就将该实例归属到这一类。
输入：训练数据集 \(T = \{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_3,y_3)\}\)
其中，\(x_i \in X \subseteq R^n\) 为实例的特征向量， \(y_i \in Y = \{c_1,c_2,...,c_k\}\) 为实例的类别， \(i = 1,2,3,...,N\)；实例特征向量 \(x\)；
输出：实例 \(x\) 所属的类 \(y\) 。
(1) 在训练集找出与 \(x\) 最相似的 k 个点，涵盖这 k 个点的 \(x\) 领域记作 \(N_k(x)\)；
(2) 在 \(N_k(x)\) 中根据分类决策规则（如多数表决）决定 \(x\) 的类别 \(y\) ：
\(y = argmax_{c_j} \sum_{x_i \in N_k(x)} I(y_i = c_j),\) \(i = 1,2,...,N; j = 1,2,...,K\)
\(I\) 为指示函数，即当 \(y_i = c_j\) 时 \(I\) 为1，否则为0。
k 近邻算法的特殊情况：k = 1 时，称为最近邻算法。
k 近邻法没有显示的学习过程。
2. k 近邻模型
2.1 模型
在特征空间中，对每个训练实例点 \(x_i\) ，距离该点比其他点更近的所有点组成一个区域叫做单元(cell)。每个训练实例点拥有一个单元，所有训练实例点的单元构成对特征空间的一个划分。
2.2 距离度量
特征空间中两个实例点的距离是两个实例点相似程度的反映。距离有欧氏距离、\(L_p\) 距离（\(L_p\) distance）或 Mainkowski 距离。
设特征空间 \(X\) 是 \(n\) 维实数向量空间 \(R^n\) ，\(x_i,x_j \in X\)，\(x_i = (x_i^{(1)},x_i^{(2)},...,x_i^{(n)})^T\)，\(x_j = (x_j^{(1)},x_j^{(2)},...,x_j^{(n)})^T\)，则 \(x_i,x_j\) 的 \(L_p\) 定义为：
\(L_p(x_i,x_j) = (\sum_{l = 1}^n |x_i^{(l)} - x_j^{(l)}|^p)^{\frac{1}{p}}\) ，\(p \geq 1\)
\(p = 2\) 时称为欧氏距离，\(p = 1\) 时称为曼哈顿距离
\(p = \infty\) 时是各个坐标距离的最大值，即：\(L_{\infty} = \max_l |x_i^(l) - x_j^(l)|\)
2.3 k 值的选择
-
较小的 k 值：相当于用较小的领域中的训练实例进行预测。
优点：学习的近似误差(approximation error)会减小；
缺点：学习的估计误差(estimation error)会增大，预测结果对近邻的实例点非常敏感。模型变复杂，容易发生过拟合。
-
较大的 k 值：相当于用较大领域中的训练实例进行预测。
优点：学习的估计误差会减小；
缺点：学习的近似误差会变大，与输入实例距离较远（不相似）的训练实例也会起预测作用。模型变简单。
k 值一般取较小的数值。
近似误差可以理解为模型估计值与实际值之间的差距。
估计误差可以理解为模型的估计系数与实际系数之间的差异。
2.4 分类决策规则
对于多数表决规则，若分类的损失函数是 0 - 1 损失函数，分类函数为：\(f:R^n \rightarrow \{c_1,c_2,...,c_K\}\)
误分类的概率：\(P(Y \neq f(x)) = 1 - P(Y = f(x))\)
对于给定实例 \(x\) ，其所属类别为 \(c_j\) ，有误分类率：\(\frac{1}{k} \sum_{x_i \in N_k(x)} I(y_i \neq c_j) = 1 - \frac{1}{k} \sum_{x_i \in N_k(x)} I(y_i = c_j)\)
故要使得误分类率（经验风险）最小，应使 \(\sum_{x_i \in N_k(x)} I(y_i = c_j)\) 最大。
综上，多数表决规则等价于经验风险最小化。
3. k 近邻法的实现：kd 树
3.1 构造 kd 树
kd 树是一种对 k 维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构，其每个结点对应一个 k 维超矩形区域。
构造：
输入： k 维空间数据集 \(T = \{x_1, x_2,...,x_N\}\)，其中 \(x_i = (x_i^{(1)},x_i^{(2)},...,x_i^{(k)})^T\)，\(i = 1,2,3,...,N\)
(1) 根节点的构造：选择 \(x^{(1)}\) 作为坐标轴，求出所有实例点中 \(x^{(1)}\) 的中位数，并以其为根节点对数据集进行划分。小于切分的的实例点成为左子结点，大于的成为右子节点。
(2) 重复：对于深度为 j 的结点，选择 \(x^{(l)}\) 为坐标轴，\(l = j \mod k + 1\)，并以 \(x^{(l)}\) 的中位数作为切分点进行切分。
(3) 直到两个子区域没有实例存在时停止。
3.2 搜索 kd 树
输入：已构造的 kd 树，目标点 \(x\)
输出：\(x\) 的最近邻（以最近邻为例）
(1) 从根结点出发，用类似于查找二叉搜索树的方法找到一个叶结点。
(2) 以该叶节点为“当前最近结点”
(3) 递归向上回退，每个结点执行以下操作：
(a) 若该结点保存的实例比当前最近点到目标的距离最小，则更新它为“当前最近点”。
(b) 检查该结点的另一子结点对应的区域是否与以目标点为球心，以目标点与“当前最近点”距离为半径的超球体相交。若相交则移动到该子结点进行递归；否则回退。
(4) 当回退到根节点是结束。
kd 树更适合训练实例数远大于空间维数的 k 邻近搜索，复杂度为 \(O(logN)\)。
更具体的实现可参考书上的例 3. 3
4. 代码实现
https://github.com/a74731248/statistical_learning_method/tree/master/k-nearest neighbor
