解题报告：小和问题和逆序对问题

小和问题

题目描述

在一个数组中，每一个数左边比当前数小的数累加起来，叫做这个数组的小和。求一个数组的小和。

实例

对于数组[1,3,4,2,5]：
1左边比1小的数，没有；
3左边比3小的数，1；
4左边比4小的数，1、3；
2左边比2小的数，1；
5左边比5小的数， 1、 3、 4、2；
所以小和为1+1+3+1+1+3+4+2=16

思路

使用O(n*n)扫描是可以的。暴力法实际上每趟都浪费了一些前几趟得出的隐含的大小关系，所以有待优化。可以想办法使用时间复杂度更好的方法。

等价转化

小和问题可以等价转换为：“如果arr[i]右边有N个数比arr[i]大，就把小和自加arr[i]*N”

和归并排序的关系

如果可以做到局部有序的话，那么遍历做加法就可以转换为乘法，这里联想到归并排序，归并排序有点像二叉树的后序遍历，将兄弟节点有序合并，“上传”到父节点，循环往复，直到根节点为止。（这里的“兄弟节点”实际上代表了两个相邻的子区间）。
思路如下，在子区间归并的过程中“打桩”（当然是升序）。首先左右两边的子区间都是局部有序的，如果左边left[i]比右边的right[j]小，那么意为这右边一共有right.size() - j个数比left[i]大，结合问题的等价转换就很好解决了。

代码

void SmallSum(std::vector<int> &v, size_t begin, size_t end, int &sum)
{
    if(begin == end)
        return;

    size_t mid = (begin + end) / 2;

    // 后序遍历
    SmallSum(v, begin, mid, sum);
    SmallSum(v, mid+1, end, sum);

    std::vector<int> temp{};
    size_t i = begin;
    size_t j = mid + 1;

    while(i <= mid && j <= end)
    {
        if(v[i] < v[j])
        {
            sum += (v[i] * (end - j + 1));  // “打桩”的位置！！！
            temp.push_back(v[i++]);
        }
        else
        {
            temp.push_back(v[j++]);
        }
    }

    while(j <= end)
    {
        temp.push_back(v[j++]);
    }
    while(i <= mid)
    {
        temp.push_back(v[i++]);
    }
}

逆序对问题

题目描述

在一个数组中，左边的数如果比右边的数大，则这两个数构成一个逆序对， 请打印所有逆序对的数量。

思路

这道题无论是暴力求解还是更优解法都与小和问题类似，如果发现左区间上有个数比右区间的还要大，需要在不同的位置“打桩”。

代码

void ReversePair(std::vector<int> &v, size_t begin, size_t end, int &num)
{
    if(v.size() == 0 || v.size() == 1)
    {
        num = 0;
        return;
    }

    if(begin == end)
        return;

    size_t mid = (begin + end) / 2;

    ReversePair(v, begin, mid, num);
    ReversePair(v, mid+1, end, num);


    std::vector<int> temp{};

    size_t i = begin;
    size_t j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= end)
    {
        if(v[i] <= v[j])
        {
            temp.push_back(v[i++]);
        }
        else
        {
            std::cout<<"i:"<<i<<" j:"<<j<<std::endl;
            num += (mid - i + 1);
            temp.push_back(v[j++]);
        }
    }
    while(i <= mid)
    {
        temp.push_back(v[i++]);
    }
    while(j <= end)
    {
        temp.push_back(v[j++]);
    }

    for(size_t ii = begin, jj = 0; ii <= end; ++ii, ++jj)
    {
        v[ii] = temp[jj];
    }
}