图论——最短路基础（二）与Floyd

Part1：最短路基础

　　对于最短路问题，常见的有5种算法：朴素Dijkstra，堆优化Dijkstra，Bellman_Ford，SPFA，Floyd。

　　注：堆优化Dijkstra虽然有这样的名字，但它和朴素Dijkstra的差别还是蛮大的，或者可以说，堆优化Dijkstra是基于朴素Dijkstra的思想的一种新的算法。

　　首先分析五种算法的时间复杂度，我们称节点数为n，边数为m：

　　　　朴素Dijkstra：双层循环枚举，每一层枚举节点，所以时间复杂度为O(n^2)（不考虑常数，考虑常数的话不到n^2），朴素Dijkstra详解见这个。

　　　　堆优化Dijkstra：枚举每条边，对于每一条边，枚举与它相连的节点，并且查找点是基于一颗二叉树（堆），所以时间复杂度为O(m*log2n)。

　　注：如果是稠密图，用朴素Dijkstra，如果是稀疏图，用堆优化Dijkstra，这是很有必要的，之后单独讲堆优化Dijkstra的时候会强调。

　　　　Bellman_Ford：枚举每个点，对于每个点，枚举所有到 i 的边，所以时间复杂度为O(mn)。这适合于稀疏图。

　　　　SPFA：枚举边，查找点，对于稠密图一般情况下时间复杂度为O(m)，对于稠密图一般情况下时间复杂度为O(nm)。这适合于稠密图。

　　　　Floyd：三层循环枚举，每一层枚举节点，时间复杂度为O(n^3)。

　　对于无负权值的情况下，一般用朴素Dijkstra、堆优化Dijkstra、Floyd；

　　对于有负权值的情况下，一般用Bellman_Ford、SPFA。

Part2：Floyd

　　通过上面的时间复杂度分析，我们发现Floyd是最慢的，那还要他干嘛？

　　正所谓存在即合理，Floyd用来解决最短路的一个分支——多源汇最短路。

　　那什么是多源汇最短路呢？

　　听名字听高大上，其实就是从多个起点到某个点的最短路，Floyd的时间复杂度不一定是O(n^3)，而是O(K*n^2)，这里的 K 表示起点的个数，当K=n时，时间复杂度自然就是O(n^3)了。

　　前面分析时我还卖了关个子呢，就是这三层都枚举了什么。

　　　　第一层枚举了起点，第二层和第三层和朴素Dijkstra的循环类似，都是枚举节点。之所以它慢，就是因为它多了一层枚举起点。

　　它的代码极其简洁，正常存图后，在循环枚举内进行更改 g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k][j]);（这里用的是邻接矩阵，如果是邻接表，可以再单独开一个g[][]数组存储即可）。

　　模板代码（作为一位压行大师，18行完成）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,q,g[202][202],a,b,w;
int main() {
　　memset(g,0x3f,sizeof g);
　　for(int i=1; i<=n; i++) g[i][i]=0;
　　cin>>n>>m>>q;
　　while(m--) {
　　　　cin>>a>>b>>w;
　　　　g[a][b]=w;
　　}
　　for(int k=1; k<=n; k++) for(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=n; j++) g[i][j]=min(g[i][j],g[i][k]+g[k][j]);
　　while(q--) {
　　　　cin>>a>>b;
　　　　cout<<g[a][b]<<endl;
　　}
　　return 0;
}