算法导论5.4 概率分析和指示器随机变量的进一步使用--几个有趣的问题

1  生日悖论

一个房间的人数必须要达到多少，才能使得有两个人生日相同的机会达到50%？


1）用概率来分析

假设一年 n = 365天，

两个人的生日都落在某一个固定的天数r上的概率为 1/n * 1/n  = 1 / n^2

两个人的生日落在同一天上的概率为n * 1 / n^2 = 1 / n    

注意两个人的生日落在同一天的概率 = 某个人的生日落在指定一天的概率 = 1 / n     这个巧合依赖于个各人生日独立。

k个人中至少有2人生日相同的概率等于1减去所有人生日都不互不相同的概率。即：

1 -  1 * (n-1)/n * (n-2)/n......* (n-k+1)/n   >=   1/2

=>　　(n-1)/n * (n-2)/n......* (n-k+1)/n    <=  1/2

由不等式：1+x <= e^x

=>　　e^{-1/n  -2/n  ... -(k-1)/n}   =   e^{ -k*(k-1) / 2n}    <=  1/2

=>　　k * (k-1)  >= 2n*ln2

可以解除k为23时，至少有2个人生日相同的概率在50%以上。



2）用指示器随机变量来计算 期望至少有2个人的生日相同   时需要的人数。

用X表示具有相同生日的对数（一对是2个人），

那么一共是C(k,2)对人，每一对人生日相同的概率都是1/n

所以当有k个人时，生日相同的人的对数的期望是 C(k,2) * 1/n   =  k(k-1) / 2n

k(k-1) / 2n  >= 1    即可求出k=28人时，可以期望有一对人的生日相同。


注意1）和2）的描述不同，是2个不同的问题。



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2  球与盒子（赠券收集者问题）

一个人如果想要收集齐b种不同赠券中的每一种，大约需要b*lnb张随机得到的赠券才能完成。

用球和盒子的模型说明：把相同的球随机投到b个盒子中去。  

1>有多少个求落入指定的盒子中？服从二态分布(k；n，1/b)，则期望值为n/b

2>在给定的盒子中至少一个球之前，平均需要投多少个球？服从几何分布，概率为1/b，成功前的期望个数为1/(1/b)=b

3>在每个盒子至少有一个球之前，要投多少个球？

大约投球b*lnb次就可以满足条件

证明见书


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3 　　 序列（抛掷n次硬币连续正面次数的期望）


在CSDN的算法版上有这样一个讨论：

adrew教授招了一个研究生，给他布置了一个任务，让他拿着硬币抛100次，如果是正面则在纸上写1，若是反面则在纸上写0，最后把这个序列给adrew教授。这个学生半个小时后回来，给出了下面的数据，Adrew教授立刻就识破了这个学生是随便写的数据，并没有确实去做这个实 验，你能猜出为什么吗？

数据
1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1


设想你抛一枚硬币n次，你期望看到的连续正面的最长序列是多长？答案是O(lgn)

证明见书



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4  在线雇佣问题（苏格拉底的捡麦穗问题）

对雇佣问题进行修改，现在我们只雇佣一次：

选择一个正整数k < n,面试前k个应聘者然后拒绝他们，再雇佣其后第一个比前面所有应聘者分数都高的人，如果没有这个人，就雇佣最后一个人。

ON-LINE-MAXIMUM(k, n)
1 bestscore ← -∞
2 for i ← to k
3      do if score(i) > bestscore
4            then bestscore ← score(i)
5 for i ← k + 1 to n
6      do if score(i) > bestscore
7            then return i
8 return n

怎么才可以捡到期望的最大麦穗呢？

方法是在前k次中不捡麦穗，但是比较找出最大麦穗并记住，在后面的n-k个麦穗中第一次遇到比前k个中的最大的还要大的麦穗就捡起，就是目标麦穗。如果没有发现比前k个还要大的，就捡最后一个第n个。

这里的关键是取好k的值，使得能够捡到最大的麦穗的可能性最大，根据算法导论（中文版）第67和68页分析，这个k值取n/e时，则可以至少有1/e的概率渠道最大的麦穗。k=n/e


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总结：

了解这些问题。证明见书

前5章是算法导论的第一部分--基础知识

其中第5章不乏许多有意思的问题