算法导论5.3 随机算法
在雇佣问题中，如果应聘者是以随机顺序出现的话，雇佣一个新的办公室助理的期望次数是lnn。这个算法是随着输入的变化而变化的。对于某个特定的输入，它总是会
产生固定的雇佣次数。
如果先对应聘者进行随机排列，此时随机发生在算法上而不是发生在输入分布上。
每次运行这个算法，执行依赖于随机的选择，而不是依赖于输入。这就是随机算法和概率分析的区别。
RANDOMIZED-HIRE-ASSISTANT(n) 1 randomly permute the list of candidates 2 best ← 0 ® candidate 0 is a least-qualified dummy candidate 3 for i ← 1 to n 4 do interview candidate i 5 if candidate i is better than candidate best 6 then best ← i 7 hire candidate i
随机算法事实上就是在算法里，对输入预先进行重排，其他完全一样。
在这里，要介绍2种对输入进行重排的算法，他们是随机重排。这两个方法都能产生均匀的随机排列。（每一种排列都等可能的被产生）。
要特别注意均匀随机排列的定义！！！！本书下面给出的2个算法对数组进行重排，产生的都是均匀随机排列，并给出了严格的数学证明，理论性很高，我们在这里这着重于介绍和了解这两种方法，不深究证明，欲看证明的可去看书。
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随机排列数组：
1）PERMUTE-BY-SORTING(A)
为数组的每个元素赋一个随机的优先级，然后根据优先级对数组A进行排序。
PERMUTE-BY-SORTING(A) 1 n ← length[A] 2 for i ← 1 to n 3 do P[i] = RANDOM(1, n
3
) 4 sort A, using P as sort keys 5 return A
这样显然可以打乱数组的顺序，关键在于我们要去证明它是均匀随机打乱的。这个要根据均匀随机排列的定义，即证明产生每一个排列的概率都是1/n!
潜在的，我们可以知道：
a）如果一个算法总共还产生不到n！种排列，那么显然它不是一个均匀随机排列的算法。课后某习题
b）有人可能会说，要证明一个排列是均匀随机排列，只要证明每个元素在每个位置上出现的概率是1/n就可。这是对均匀随机排列的误解。课后某习题
PERMUTE-BY-SORTING比较难，不能直接看出可以产生多少种排列。
2）RANDOMIZE-IN-PLACE(A)
对数组一遍循环，每个元素A[i]与 A[i]到最后一个元素 中的某个交换（如下代码），容易看出，总共的排列数就是n！个
RANDOMIZE-IN-PLACE(A) 1 n ← length[A] 2 for i ← to n 3 do swap A[i] ↔ A[RANDOM(i, n)]
对于1）2）是均匀随机排列的证明这里就不讲了，书上有。
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习题
（证明均匀随机排列的过程是非常麻烦的，我们重点关注上面画底线的a，b两条，来判断某个算法是否可以产生均匀随机排列就行）
5.3.2 Kelp教授决定用下列算法来随机产生非同一排列的任意排列，他实现了意图吗？
PERMUTE-WITHOUT-IDENTITY(A) 1 n ← length[A] 2 for i ← 1 to n 3 do swap A[i] ↔ A[RANDOM(i + 1, n)]
不行，这段代码总共只能产生（n-1）！种排列（自己算），达到他的意图的必要条件就需要能够产生n！-1种排列。
上述第a）点。
5.3.3 假设不是将 A[i] 与 A[i....n] 上的数随机的交换一个（注意这是我们的正确算法），而是每次将它与数组上任意位置上的数随机交换，可以产生均匀随机排列吗？
PERMUTE-WITH-ALL(A) 1 n ← length[A] 2 for i ← 1 to n 3 do swap A[i] ↔ A[RANDOM(1, n)]
不能，也是第a)点，可以自己分析下。
举个特例，假设排列长度为n=3。那么就要调用3次RANDOM，每次返回3个值中的一个，则执行完过程PERMUTE-WITH-ALL后将会有27种可能的结 果。因为排列长度为n，则一共有3!=6个排列，如果PERMUTE-WITH-ALL产生均匀的随机排列，那么每个排列出现的概率均为1/6。也就是说 每个排列都应该出现m次使m/27=1/6。由于不存在整数m使m/27=1/6，因此PERMUTE-WITH-ALL不一定产生均匀的随机排列。
5.3.4 Armstrong建议用下列过程来产生均匀随机排列：
PERMUTE-BY-CYCLIC(A) 1 n ← length[A] 2 offset ← RANDOM(1, n) 3 for i ← 1 to n 4 do dest ← i + offset 5 if dest > n 6 then dest ← dest -n 7 B[dest] ← A[i] 8 return B
证明任意元素在B中任意位置出现的概率都是1/n,证明该算法不能产生均匀随机排列。
1）注意第2行，offset在这就求出来了，在for中使用的时候是一个定值。
offset可以有n个值，所以任意元素在B中任意位置出现概率都是1/n.
2)这段代码只能产生n个不同的排列（原因仍是第2行）
这就说明了划线部分b）
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总结：
1）均匀随机排列的定义
2）两个均匀随机排列
3）均匀随机排列证明比较难，但要会怎么去判断一个算法能否产生均匀随机排列
