减治法（三） 生成子集的减治算法及二进制码法
子集问题是指生成一个集合的全部子集（2^n个，包括空集和全集），今年实验室一个去高盛的同学在技术面中被问到了这个问题，另外记得还有一个快排的时间复杂度证明（这个更难，就算了，有时间去看看算法导论怎么证明的）
算法1：减一治策略
有了减治生成排列的经验，相信对于子集来说，用减治法来思考就更加简单了。
如果有了n-1个元素的全部子集项{ 2^(n-1) 项}，那么n个元素的全部子集首先包含这已经有的n-1个元素的全部子集，另外还包括把第n个元素加到每一个子集项里面去生成的子集项{ 也是2^(n-1) 项 }，所以，正好这就有了2^(n-1) + 2^(n-1) = 2^n项，正是我们要的结果。
为什么说它比排列还简单点呢？因为你只需要把第n个元素加到之前的子集项去就行了，而排列要把它加到一个排列项的不同位置（也就是说原来一个排列项会发展出多个不同的排列项）。
public static String[] getSubSet(char[] aaa){
//从aaa生成子集，放在String数组返回
int Mi = mi2(aaa.length);
String[] result = new String[Mi];
if(aaa.length == 1)
{
result[0] = "空集";
result[1] = aaa[0] + "";
}
else //减一治递归的生成子集
{
int tempMi = mi2(aaa.length - 1);
String[] tempResult = new String[tempMi];
char[] tempaaa = new char[aaa.length - 1];
for(int i = 0;i < aaa.length - 1;i++)
tempaaa[i] = aaa[i];
tempResult = getSubSet(tempaaa); //递归产生前n-1项的子集
char an = aaa[aaa.length -1];
//从前n-1项的子集产生第n项的子集
for(int i = 0;i < tempResult.length;i++)
result[i] = tempResult[i];
for(int i = tempResult.length;i < result.length;i++)
{
if(tempResult[i - tempResult.length].equals("空集"))
result[i] = an + "";
else
result[i] = tempResult[i - tempResult.length] + an;
}
}
return result;
}
算法2：二进制的方法来生成子集
减一治的策略虽然已经相当简洁明了，但巧妙的是，却又更加巧合的事情：
一个集合元素对应的自己恰是二进制码从0到最大时的每个二进制串可以表示的：
public static String[] binarySubSet(char[] aaa){
//用二进制的方法产生子集
int Mi = mi2(aaa.length);
String[] result = new String[Mi];
//String binary = "";
for(int i = 0;i < Mi;i++)
{
//将i转换为二进制的一个字符串，串长为aaa.length
String binary = "";
int temp = i;
for(int j = 0;j < aaa.length;j++)
{
int yushu = temp % 2;
temp = temp / 2;
binary = yushu + binary;
}
//每个二进制字符串对应一个子集
result[i] = binaryToString(aaa,binary);
}
return result;
}
完整代码及支持方法：
SubSet
package Section5;
import java.util.Scanner;
/*第5章 减治法 生成子集*/
public class SubSet {
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt(); //输入要生成排列的元素的个数
char[] aaa = new char[n]; //n个要生成子集的元素
String s = scan.next();
for(int i = 0;i < s.length();i++)
aaa[i] = s.charAt(i);
System.out.println("\n减一治递归的构造子集： ");
String[] result1 = getSubSet(aaa); //结果数组
for(int i = 0;i < result1.length;i++)
System.out.print(result1[i] + " ");
System.out.println("\n\n二进制码方法构造子集： ");
String[] result2 = binarySubSet(aaa);
for(int i = 0;i < result2.length;i++)
System.out.print(result2[i] + " ");
}
public static String[] getSubSet(char[] aaa){
//从aaa生成子集，放在String数组返回
int Mi = mi2(aaa.length);
String[] result = new String[Mi];
if(aaa.length == 1)
{
result[0] = "空集";
result[1] = aaa[0] + "";
}
else //减一治递归的生成子集
{
int tempMi = mi2(aaa.length - 1);
String[] tempResult = new String[tempMi];
char[] tempaaa = new char[aaa.length - 1];
for(int i = 0;i < aaa.length - 1;i++)
tempaaa[i] = aaa[i];
tempResult = getSubSet(tempaaa); //递归产生前n-1项的子集
char an = aaa[aaa.length -1];
//从前n-1项的子集产生第n项的子集
for(int i = 0;i < tempResult.length;i++)
result[i] = tempResult[i];
for(int i = tempResult.length;i < result.length;i++)
{
if(tempResult[i - tempResult.length].equals("空集"))
result[i] = an + "";
else
result[i] = tempResult[i - tempResult.length] + an;
}
}
return result;
}
public static String[] binarySubSet(char[] aaa){
//用二进制的方法产生子集
int Mi = mi2(aaa.length);
String[] result = new String[Mi];
//String binary = "";
for(int i = 0;i < Mi;i++)
{
//将i转换为二进制的一个字符串，串长为aaa.length
String binary = "";
int temp = i;
for(int j = 0;j < aaa.length;j++)
{
int yushu = temp % 2;
temp = temp / 2;
binary = yushu + binary;
}
//每个二进制字符串对应一个子集
result[i] = binaryToString(aaa,binary);
}
return result;
}
private static String binaryToString(char[] aaa,String binary){
//二进制串binary在aaa中对应的字符串
String result = "";
for(int i = 0;i < binary.length();i++)
if(binary.charAt(i) == '1')
result = result + aaa[i];
if(result.equals(""))
result = "空集";
return result;
}
private static int mi2(int n){
//求n个元素的集合的子集个数--2^n
int result = 1;
while(n != 0)
{
result = result * 2;
n--;
}
return result;
}
}
运行结果：
4
abcd
减一治递归的构造子集：
空集 a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd
二进制码方法构造子集：
空集 d c cd b bd bc bcd a ad ac acd ab abd abc abcd
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总结：
思路都比较清晰，但写了好久了，应该再看看具体实现
