图论(1) 图的基本数据结构和算法

图里面的东西太多，先写一个概要。在后面的文章中将继续逐个探讨和实现。

1，一些概念

顶点

边(无向图) 或 弧（有向图）

完全图，子图，连通图

路径，简单路径（顶点不重复）

生成树（无向图），关键路径，拓扑排序


2，存储结构

非常重要！！！
2种存储方式，邻接矩阵和邻接表

目前我写的都是用邻接表写的，但后来发现大家还是用邻接矩阵比较多，后来问了下baidu的阿海，他说一般都是用邻接矩阵，简单一些，但用过邻接表话，肯定可以秒杀邻接矩阵。恩 ，有时间我也写一下邻接矩阵的实现，，，，

无论哪种方式，顶点一般来说都放在数组里。（当然你也可以放在链表里，这样似乎很麻烦，很少见到这样做的），两种方式的区别在于顶点之间的关系的实现用什么

1）邻接表

这里的表其实是存储边得链表。

将顶点放在一个Node[]数组里，每一个顶点维护一个它的边的链表（想想怎么去实现？），下面是顶点类的定义：

package Graph;

public class VNode {

    private Object element;        //节点自身信息
    private Edge firstEdge;            //节点的第一条边
    private boolean visited = false;    //在遍历时标识是否被访问过
    
    //get,set方法省略
}

每次写一个类似于C里面的结构体类，都把成员变量写为private，结果就需要写很多的get和set方法来访问和设置，这样做符合面向对象封装的要求，但算法的代码就显得比较麻烦，为了简化代码，侧重算法，以后我就都把它们写成public了。这里还是写成了private，get和set方法省略了。

这样Node[]数组里存放的就是上述顶点类型，每一个顶点包含顶点自身存放元素的信息（必备），是否被访问过的信息（遍历时用到），指向第一条边的Edge指针，


要维护顶点的边链表，还需要一个边类：

package Graph;

public class Edge {
    
    private int start,end;    //边指向两个节点的位置(如果用数组存放节点，就是下标，如果用链存放下标，就是位置索引)
    private Edge next;                //边指向的下一条边
    
    private int len;                //边的信息（长度）    
    
       
       //省略读写方法
}

我用边得首尾顶点在顶点数组里的下标来标识一条边（这样有向无向图可以一起写），在边里还要维护一个指向下一个边的Edge指针（维护边链表），还有一个边的长度信息（写最小生成树的时候用到，或者其他的加权图）


上述2个顶点和边的定义就可以实现邻接表的存储方式。


2）邻接矩阵

现在顶点的定义只需要放顶点的元素和是否被访问即可，不需要指向第一个边的指针。

我们还是用Node[]放顶点，用一个关系矩阵来存放顶点之间的关系（是否有边连接）
关系矩阵用一个二维数组实现，

M[n][n]---假设有n个顶点的关系矩阵，M[i][j]的值表示顶点i和顶点j的关系



3，基本的算法

1）广度优先搜索
队列实现

2）深度优先搜索
栈实现

3）无向图的最小生成树
2种贪心算法

4）拓扑排序

5）带权有向无环图的关键路径

6）最短路径



总结：

图的存储方式很重要，弄清楚怎么去标表示图，才能做接下来的工作---

邻接表是指每个顶点维护一个跟它相关联的边得链表，而不是跟它相关联的顶点的链表，也就是说需要有2个类，顶点类（要包含指向第一个关联边的引用），边类（要包含指向下一条关联边得指针）。如果只有顶点类的话，那不行，边的长度信息没有地方存储。

这是用邻接表的时候的一个小思考和误区，如果实现成相关联的顶点的链表，那么只能做广搜和深搜，对于加权图有关的算法就无能为力了，这样实现只能表示顶点之间的是否有连接的关系，边的信息不存在。