满二叉树各种节点数目的计算

1. 二叉树的基本性质

• 二叉树的第i层至多有2^i-1个结点（i>=1）

证明：（归纳法）

　　　归纳基：i=1时，只有一个结点，2^i-1=2⁰=1；

　　　归纳假设：假设对所有的i命题成立；

　　　归纳证明：二叉树中每个结点最多有两个子树，则第i+1层的结点数为2*2^i-2=2^i-1.

• 深度为h的二叉树至多有2^h-1个结点（h>=1）

　　　　证明：n=2⁰+2¹+...+2^h-1=2^h-1.（等比数列）

• 对于一棵二叉树，若含有n₀个叶子结点，n₂个度为2的结点，则必存在关系式：n₂=n₀-1

　　　　证明：设二叉树的结点总数为n=n₀+n₁+n₂;

　　　　　　　二叉树上的分支总数为b=n₁+2n₂;

　　　　        又b=n-1;

　　　　        故：n₂=n₀-1.

• 具有n个结点的完全二叉树的深度为[log₂n]+1.[]表示取整

　　　　证明：设完全二叉树的深度为k，则：2^k-1<=n<2^k

　　　　　　　即k-1<=log₂n<k

　　　　　　　因为k只能取整数，所以k=[log₂n]+1.

• 若对含n个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行1至n的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为i的结点：

　　　　若i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则，编号为[i/2]的结点为其双亲结点；

　　　　若2i>n，则该结点无左孩子结点，否则，编号为2i的结点为其左孩子结点；

　　　　若2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为2i+1的结点为其右孩子结点。

　　　　证明：设完全二叉树中第i个结点的位置为第k层第j个结点，即i=2^k-1-1+j;

　　　　　　　则左孩子结点的索引为：l=2^k-1+2(j-1)+1=2*(2^k-1-1+j)=2*i;

　　　　　　　左孩子结点的索引为：r=2^k-1+2(j-1)+2=2*(2^k-1-1+j)+1=2*i+1;

 2. 二叉树中各种结点数目的计算

　　若一个完全二叉树的结点数目为n，求n₀，n₁，n₂，数的高度h，左孩子结点数目nl和右孩子结点数目nr？

　　（n₀为度为0的结点，n₁为度为1的结点，n₂为度为2的结点）

　　求解思路：

　　树的高度h=[log₂n]+1;

　　因为是完全二叉树，所以1~h-1层全满；

　　前h-1层的结点数目为n_h-1=2^h-1-1;

　　第h层的叶子结点数目为n_c1=n-n_h-1;

　　第h-1层的叶子结点数目为n_c2=2^h-2-ceil(n_c1/2);（ceil为向上取整）

　　所以n₀=n_c1+n_c2;

　　n₂=n₀-1;

　　n₁=n-n₀-n₂;

　　左孩子结点数目n_l=n₂+n₁;

　　右孩子结点数目n_r=n₂;