统计分布之泊松分布

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统计与分布之高斯分布
组合与排列
计数原理

泊松分布

泊松分布（Poisson）是一种统计与概率学中常见的离散概率分布，适合用于描述单位时间（单位面积）内随机事件发生的次数（个数），例如：一分钟内不断抛硬币并得到正面向上的次数为 30 次，求解得到正面向上次数为 50 次的概率是多少。

概率密度函数：

• λ 表示单位时间（单位面积）内随机事件的平均发生率
• k! 表示 k 的阶乘并且 k 取非负整数

适合于泊松分布的事件需要满足下述 3 个条件：
1. 这个事件是一个小概率事件。
2. 事件的每次发生都是独立的。
3. 事件的概率是稳定的。

例子：公交车站有很多不同线路的公交车，平均每 5 分钟会来两辆公交车，求解 5 分钟内来 5 辆公交车的概率有多大？
解析：在这里问题里，随机事件（公交车来到）拥有固定的平均概率（每 5 钟 2 辆），每次事件随机且独立（不同的线路），所以这个随机事件在单位时间（5 分钟）内出现的次数就近似的服从语泊松分布。
最终代入公式求解得：P(X=k=5) = (2^5 / 5!) * e^(-2) 概率约为 0.0361

除此之外，一放射性源放射出的 alfa 粒子数，某电话交换台收到的电话呼叫数，到某机场降落的飞机数，一个售货员接待的顾客数，一台纺纱机的断头数，都服从泊松分布。

泊松部分函数密度(累积函数)曲线：

分布曲线特点：

• 当 k 小于 λ 时，k 每增加 1 累积概率增速会逐渐加大
• 而当 k 大于 λ 后，累积概率的降速也会逐渐加大。

为什么说现实生活多数服从泊松分布？

假定一个事件在一段时间内随机发生，且符合以下条件：
（1）将该时间段无限分隔成若干个小的时间段，在这个接近于零的小时间段里，该事件发生一次的概率与这个极小时间段的长度成正比。
（2）在每一个极小时间段内，该事件发生两次及以上的概率恒等于零。
（3）该事件在不同的小时间段里，发生与否相互独立。 则该事件称为 Poisson Process。

医院的例子，如果把一天分成 24 个小时，或 24*60 分，或 24*3600
秒。时间区间越分越短，该区间内来病人的概率就越小（比如医院在 12 点到 12 点又一毫秒之间来病人的概率是不是很接近于零？），符合条件（1）；另外如果我们把时间分的很细很细，是不是同时来两个病人（或者两个以上的病人）就是不可能的事件？符合条件（2）；条件（3）的要求则比较苛刻，要求病人们来医院的概率必须是相互独立的，如果不然，则事件不能看作是泊松分布。
所以，简单来说，大多数现实生活中的例子中如果事件是相互独立的，那么它就很可能是符合泊松分布的。

摘自知乎：楚小鱼