统计与分布之伯努利分布与二项分布

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伯努利分布

伯努利分布（Bernoulli Distribution），是一种离散分布，又称为 “0-1 分布” 或 “两点分布”。例如抛硬币的正面或反面，物品有缺陷或没缺陷，病人康复或未康复，此类满足「只有两种可能，试验结果相互独立且对立」的随机变量通常称为伯努利随机变量。

对于伯努利随机变量 X，如果使用 1 表示成功，其概率为 p(0<p<1)；使用 0 表示失败，其概率为 q=1-p。则可以称伯努利随机变量 X 服从参数为 p 的伯努利分布，其分布律为：

对于伯努利分布来说，其离散型随机变量期望为：

E(x) = ∑x∗p(x) = 1∗p+0∗(1−p) = p

方差为：

D(x) = E(x^2)−(E^2)(x) = 12∗p−p2 = p(1−p)

二项分布

二项分布（Binomial Distribution）也是一种离散型概率分布，又称为「n 重伯努利分布」。

首先看「n 重伯努利试验」的定义：如果随机变量序列 Xn(n=1, 2, …) 中的随机变量均服从与参数为 p 的伯努利分布，那么随机变量序列 Xn 就形成了参数为 p 的 n 重伯努利试验。例如，假定重复抛掷一枚均匀硬币 n 次，如果在第 i 次抛掷中出现正面，令 Xi=1；如果出现反面，则令 Xi=0。那么，随机变量 Xn(n=1, 2, …) 就形成了参数为 1/2 的 n 重伯努利试验。

可见，n 重伯努利试验需满足下列条件：

• 每次试验只有两种结果，即 X=1，或 X=0
• 各次试验中的事件互相独立，且 X=1 和 X=0 的概率分别为 p(0<p<1) 和 q=1-p

n 重伯努利试验的结果就是 n 重伯努利分布，即二项分布。反之，当 Xn(n=1) 时，二项分布的结果服从于伯努利分布。因为二项分布实际上是进行了 n 次的伯努利分布，所以二项分布的离散型随机变量期望为 E(x)=np，方差为 D(x)=np(1-p) 。

需要注意的是，满足二项分布的样本空间有一个非常重要的性质，假设进行 n 次独立试验，满足二项分布（每次试验成功的概率为 p，失败的概率为 1−p），那么成功的次数 X 就是一个参数为 n 和 p 的二项随机变量，即满足下述公式：

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

• X=k，试验 n 次，成功的次数恰好有 k 次的随机变量（事件）
• C(n, k)，表示从集合 n 中取出 k 个元素的组合数，结果为 n!/(k!*(n-k)!)

例如，小明参加雅思考试，每次考试的通过率 1/3，不通过率为 q=2/3。如果小明连续参加考试 4 次，那么恰好有两次通过的概率是多少？
解析：因为每次考试只有两种结果，通过或不通过，符合条件 (1)；每次考试结果互相独立，且概率不变，符合条件 (2)。满足二项分布样本，代入公式求解得概率为：C(4, 2)*(1/2)^2*(2/3)^(4-2) ≈ 8/27

二项分布概率直方图：

图形特性：

• 当 p=q 时，图形是对称的
• 当 p≠q 时，图形呈偏态，p<q 与 p>q 的偏斜方向相反
• 当 (n+1)p 不为整数时，二项概率 P(X=k) 在 k=(n+1)*p 时达到最大值
• 当 (n+1)p 为整数时，二项概率 P(X=k) 在 k=(n+1)*p 和 k=(n+1)*p-1 时达到最大值

NOTE：当 n 很大时，即使 p≠q，二项分布概率直方图的偏态也会逐渐降低，最终成为正态分布。也就是说，二项分布的极限情形即为正态分布，故当 n 很大时，二项分布的概率可用正态分布的概率作为近似值。那么 n 需要多大才可谓之大呢?
一般规定，当 p<q 且 np≥5，或 p>q 且 nq≥5 时，这时的 n 就足够大了，可以用正态分布的概率作为近似值。则正态分布参数 μ=np，σ^2=np(1-p) 。