收敛数列极限唯一性证明

收敛函数的含义：设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。

论题：若An数列收敛，则极限唯一。

反证法： 假设数列An有两个极限 A,B。

　　　　 再假设   |Ai - A| < e1;

　　　　　　　　|Aj - B| < e2;

 

　　　　收敛函数性质

　　　　取n = max{i,j},E = max{e1,e2};

　　　　则　　|An - A| < E

　　　　　　　|An - B| < E

 

　　　　展开  - E < An - A < E

　　　　　　 A - E < An < A + E

　　　　同理 B- E < An < B + E

 

　　　　则可以取    A - E < B + E

　　　　　　　　    B - E < A + E

　　　　

　　　　转换　　A - B < E/2

　　　　　　　　B - A < E/2

　　　　等式不成立，反证完毕