IEEE浮点数格式

在计算机中，浮点数的二进制编码是这样的，一个浮点数由三个部分组成：

(1) 1个符号位s；

(2) 若干位数，组成指数E；

(3) 若干位数，组成小数M.

然后浮点数的值等于 (-1)^s * M * 2^E。  

比如32位的浮点数，指数域有8位，小数域23位；而64位的浮点数，指数域有11位，小数域有52位。

 

下面结合32位浮点数，说明一下指数E和小数M是怎么取值的。

这里先记指数域组成的无符号整数e = ek-1ek-2...e1e0，记小数域组成的二进制小数f = 0.fn-1fn-2...f1f0，记偏置值Bias = (2^(k-1) - 1)。

对于32位浮点数来说，Bias等于2^(8-1) - 1 = 127。

 

视指数域，分三种情况：

(1)指数域全是0：这样的浮点数叫非规格化数。E取值为1 - Bias, M取值为f.

　　例：[0 00000000 00000000000000000000000]，是个非规格化数，符号位为正，E = 1 - 127 = -126, M = f = 二进制的0.00000000000000000000000 = 0，该值是0.

　　例：[0 00000000 01100000000000000000000]，是个非规格化数，符号位为正，E = 1 - 127 = -126, M = f = 二进制的0.01100000000000000000000 = 十进制的0.375，则该数的值为0.375 * 2^(-126).

 

(2)指数域不全是0，也不全是1：这样的浮点数叫规格化数。E取值为e - Bias, M取值为1 + f.

 　　例：[0 00000001 00000000000000000000000]，是个规格化数，符号位为正，E = 1 - 127 = -126, M = 1 + f = 二进制的0.00000000000000000000000 = 1，则该数的值为1 * 2^(-126).

 　　例：[1 11100000 11000000000000000000000]，是个规格化数，符号位为负，E = 224 - 127 = 97, M = 1 + f = 1 + 二进制的0.11000000000000000000000 = 1 +十进制的0.75 = 1.75，则该数的值为-1.75 * 2^97.

 　　例：[0 11111110 11111111111111111111111]，是个规格化数，符号位为负，E = 254 - 127 = 127, M = 1 + f = 1 + 二进制的0.11111111111111111111111，则该数的值为（1 + 二进制的0.11111111111111111111111）* 2^127.

 

(3)指数域全是1： 这样的浮点数是特殊数值。

若小数域全是0，浮点值为无穷大(视符号位s分为正无穷大和负无穷大)，即   [0 11111111 00000000000000000000000]是正无穷大， [1 11111111 00000000000000000000000]是负无穷大。

若小数域不全是0，浮点值为NaN(无效的数).比如 [ 0 11111111 00000000000000000000011]。

 

下图列举的是8位正浮点数的分布,从中可以看出浮点数取值的规律：

 

我对编码规则的一些理解：

(1) E的编码要e减去一个定值Bias，可使E能取负值又能取正值（原理类似于补码的编码，但最大、最小值不同）；

(2) 非规格化数的E编码是1-Bias而不是-Bias，可确保非规格化数到规格化数之间的“连续性”；

(3) 规格化数M的编码，给f加上1，使M的取值限于[1,2)，这样可提高指数域的位数。（原理类似于科学计数法中，有效数必须大于等于1小于10)

 

——读自《深入理解计算机系统》