\(bit\)是度量信息的单位，包含\(0\)和\(1\)两种状态。计算机的各种运算最后无不归结为一个个\(bit\)的变化。熟练掌握并利用位运算，能够帮助我们理解程序运行中的种种表现，提高程序运行时的时空效率，降低编程时间复杂度。
——选自《算法进阶指南》
而如此功能的位运算，常见的无非也就六种：
1. 与（&） 2.或（|） 3.非（~）
4.异或（^） 5.左移（<<） 6.右移（>>）
至于功能，大家都很熟了，就不再赘述。
OK，位运算讲解结束，全篇完！
还是来讲讲例题吧，不然毫无感觉。。。
一句话题意：求一个序列区间中所有子区间异或和的异或和。
好像有点拗口？就是说：
一区间为\(a_1\)~\(a_3\),
\(ans~=~a_1~xor~a_2~xor~a_3~xor~(a_1~xor~a_2)~xor~(a_2~xor~a_3)~xor~(a_1~xor~a_2~xor~a_3)\)
第一眼看过去，就三个字：不可做！但我仔细看了看，有一个惊人发现：我还是不会。
没办法，找找规律试试：
1.区间为\(a_1\)~\(a_3\Rightarrow~ans=a_1~xor~a_3\)
2.区间为\(a_1\)~\(a_4\Rightarrow~ans=0\)
3.区间为\(a_1\)~\(a_5\Rightarrow~ans=a_1~xor~a_3~xor~a_5\)
4.区间为\(a_1\)~\(a_6\Rightarrow~ans=0\)
突然我又有了惊人的发现：区间长度为偶数时答案为\(0\),区间长度为奇数时答案为所有下标为奇数的权值的异或和！
然后现实又给了我一巴掌：
5.区间为\(a_2\)~\(a_7\Rightarrow~ans=a_2~xor~a_4~xor~a_6\)
这次错不了，答案为区间内所有与端点下标奇偶性相同的权值的异或和。（端点不同则答案为\(0\)）
有了这个性质，我们就可以用两颗线段树或树状数组，保存奇数和偶数的异或和，进行查询和修改
然后。。没有然后了。。。
呸，然后手起，码落：
#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
using namespace std;
const int N=200005;
int n,m,a[N],val[N][2];
inline void add(int x,int y,bool yor)
{
for(;x<=n;x+=lowbit(x))
val[x][yor]^=y;
}
inline int ask(int x,bool yor)
{
re int sum=0;
for(;x>0;x-=lowbit(x))
sum^=val[x][yor];
return sum;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(re int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),add(i,a[i],i&1);
for(re int type,l,r;m--;)
{
scanf("%d%d%d",&type,&l,&r);
if(type==1) add(l,a[l],l&1),add(l,r,l&1),a[l]=r;
else printf("%d\n",((r-l+1)&1)?ask(r,r&1)^ask(l-2,l&1):0);
}
return 0;
}
再来一道绝世好题咋样？？？
还是一句话题意：求一段长度为\(n\)区间的最长子区间长度，使其满足\(a_i~\&~a_{i+1}!=0\)
有没有感觉似曾相识？好像最长上升子序列是变成了最长“与后非零”子序列。
\(n\le10^5\)，没法与最长上升子序列一样\(O(n^2)\)求答案，还是毫无头绪。。
不对，曾记否？学长说过，它\(O(nlogn)\)也能求！
但蒟蒻的我从未打过\(O(nlogn)\)求最长上升子序列。。
慢着，等我去学学再来。
所以各位读者：休息一下，马上回来！
OK，咱们继续，
\(O(nlogn)\)的最长上升子序列与之前不同，保存的不是\(a_i\)最大能排在第几位，而是排在第\(i\)位的数最小可以为多少。
那我们依葫芦画瓢，保存。。（额，还是不会
突然想起来这章讲的是位运算！与的运算法则又是同一为一，其余为零，那我们保存子序列最后一项二进制下第\(i\)位为\(1\)的最大长度，然后转移方程就出来了：
\(f_j=max{f_j}+1(0\le j\le 32)\)(\(a_i\)在二进制下第\(j\)位为\(1\))
然后我们就A了一道绝世好题。。
手起，码落：
#include<bits/stdc++.h>
#define re register
using namespace std;
int n,a,f[40],ans;
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(re int i=1,maxx;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a);maxx=0;
for(re int j=0;j<=32;j++)
if((a>>j)&1)maxx=max(maxx,f[j]+1);
for(re int j=0;j<=32;j++)
if((a>>j)&1)f[j]=maxx;
}
for(re int i=0;i<=32;i++)ans=max(f[i],ans);
printf("%d",ans);
return 0;
}
讲完了，不容易呀，给个赞在走不，QWQ~
