2022 杭电多校第一场

A String

大概就是把 NOI2014动物园 这个题加了个编号模 \(k\) 的限制条件。
先建出 \(\rm fail\) 树，在 \(\rm fail\) 树上跳可以找出每个节点 i 对应的满足 \(2j>i\) 的最小祖先 \(j\) ，
\(i\) 的答案就是 \(j\) 到 \(i\) 这条链上满足 \(2x\equiv i({\rm mod}\ k)\) 的节点 \(x\) 数目，
差分拆成 \({\rm fail}(j)\) 到根的贡献和 \(i\) 到根的贡献，做一次 dfs 即可统计出答案，时间复杂度 \(O(\sum |S|)\) 。

B Dragon Slayer

直接暴力枚举去掉哪些墙，然后 bfs 检验一下是否连通即可。

C Backpack

设 \(f(i,j,k)\) 表示考虑了前 \(i\) 个物品，体积和为 \(j\) ，价值 xor 和为 \(k\) 的方案是否存在，用 bitset 压位即可。

D Ball

枚举两个点 \(A,B\)，若 \(A,B\) 之间的距离是质数，则考虑找第三个点 \(C\) 使得 \(dis(A,C)\ge dis(A,B),dis(B,C)\le dis(A,B)\) 。

于是可以先将所有点两两之间的距离从小到大排序，并按照顺序枚举 \(dis(A,B)\) 与对应的 \(A,B\) ，对每个点维护两个 bitset 表示其他点到这个点的距离是否大于等于/是否小于等于当前枚举的 \(dis(A,B)\) ，那么计算合法的 \(C\) 点数目只需要将 bitset 求交即可，时间复杂度 \(O(\frac{n^3}{w})\) 。

E Grammar

题面太长太啰嗦，先鸽。

F Travel Plan

显然可以用莫比乌斯反演转化为对于每个 \(x\) ，只保留权值是 \(x\) 倍数的边形成的图的简单路径计数。

而由图中不存在偶环可以推出每条边最多只被一个环包含，即图是一个仙人掌，在仙人掌上 dp 求路径数即可。

G Treasure

首先建出并查集重构树，具体来说，用 Kruskal 找一棵最小生成树，并且每次向生成树中新增边时，就新增一个虚点连向这次合并的两个连通块。那么每次询问时，\(x\) 点能通过权值 \(\le y\) 的边到达的所有点一定会形成一棵子树，可以通过倍增跳祖先的方式找到这棵子树。考虑维护每棵子树的答案，那么当增大 \(x\) 点的权值时，可能影响 \(x\) 的所有祖先的答案，而这些影响可以拆成不超过 10 个连续段（若有某个 property 与 \(x\) 相同的点 \(y\) ，则答案变化量可能在 \(x\) 与 \(y\) 的 LCA 处发生变化），差分之后变成单点修改与区间求和，用树状数组即可维护答案，时间复杂度 \(O(10n\log n)\) 。