[hdu5312]数的拆分，数学推导

题意：给定一个序列，a[n]=3n(n-1)+1，n>=1，求给定的m(m<=1e9)最少可以用几个a里面的数表示（可以重复）

 思路：对答案分类

（1）假定答案为1，则m必定是a中的某一个数，直接查找即可，复杂度O(logn)

（2）假定答案为2，则m必定可以拆分成两个a中的数之和，用两指针分别从头和尾向中间扫，判断是否可以构成m，复杂度O(n)

（3）假定答案大于等于3，设答案为k，即k>=3，则必有m=a[i1]+a[i2]+...+a[ik]，由于a[i]=3i(i-1)+1=6[i(i-1)/2]+1，所以有：

 m=6[i1(i1-1)/2+i2(i2-1)/2+...+ik(ik-1)/2]+k                        

所以(m-k)%6==0恒成立，也就是说如果得出了答案k，那么答案一定满足(m-k)%6==0，这是必要性；当k>=3时，令b=(m-k)/6，因为任意一个自然数最多只需要3个三角形数即可表示，所以b=i1(i1-1)/2+i2(i2-1)/2+...+ik(ik-1)/2恒有解，这是充分性。故答案k需满足k>=3且(m-k)%6==0，由于是求最小个数，k从3枚举到第一次满足(m-k)%6==0即可得到答案。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define X first
#define Y second
#define all(a) (a).begin(), (a).end()
 
void readInt(){}void RI(int&X){scanf("%d",&X);}template<typename...R>
void RI(int&f,R&...r){RI(f);RI(r...);}void RIA(int*p,int*q){int d=p<q?1:-1;
while(p!=q){scanf("%d",p);p+=d;}}void print(){cout<<endl;}template<typename T>
void print(const T t){cout<<t<<endl;}template<typename F,typename...R>
void print(const F f,const R...r){cout<<f<<", ";print(r...);}template<typename T>
void print(T*p, T*q){int d=p<q?1:-1;while(p!=q){cout<<*p<<", ";p+=d;}cout<<endl;}
 
typedef pair<int, int> pii;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
 
template<typename T>bool umax(T &a, const T &b) {
    return a >= b? false : (a = b, true);
}
/* -------------------------------------------- */
 
vector<int> table;
 
void init() {
    for (int i = 1; ; i ++) {
        ll buf = 3ll * i * (i - 1) + 1;
        if (buf > 1e9 + 7) break;
        table.pb((int)buf);
    }
}
 
bool chk(int x) {
    int l = 0, r = upper_bound(all(table), x - table[0]) - table.begin() - 1;
    while (l < r && table[l] + table[r] != x) {
        l ++;
        while (l < r && table[l] + table[r] > x) r --;
    }
    return table[l] + table[r] == x;
}
 
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif // ONLINE_JUDGE
    int T;
    cin >> T;
    init();
    while (T --) {
        int x;
        RI(x);
        if (find(all(table), x) != table.end()) {
            puts("1");
            continue;
        }
        if (chk(x)) {
            puts("2");
            continue;
        }
        for (int k = 3; ; k ++) {
            if ((x - k) % 6 == 0) {
                printf("%d\n", k);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

 

posted @ 2015-07-28 02:30  jklongint  阅读(486)  评论(0)  编辑  收藏  举报