快速傅里叶变换应用(FFT Applications)

1. 3-SUM

Given three sets $X$, $Y$, and $Z $ of $n$ integers each, determine whether there is a triple $i \in X, j \in Y, k \in Z$ such that $i + j = k$.

给定三个包含$n$个整数的集合, 每个整数的值都在$0$到$m$之间, 判断是否有一个三元组$(i, j, k)$满足$i \in X, j \in Y, k \in Z$并且$i + j = k$.

算法如下:

\[A(x)=a_0x+a_1x+\dots+a_mx^m \]

\[B(x)=b_0x+b_1x+\dots+b_mx^m \]

其中$a_i=1$ 当且仅当$i \in X$否则$a_i=0$, $b_j=1$ 当且仅当$j \in Y$否则$b_j=0$.

计算$C(x)=A(x)\times B(x)$. (利用FFT)
多项式$C(x)$系数$c_k$表示集合$\set{(i, j)|i\in X,j \in Y, i+j=k}$的大小, 即选择一个整数$i \in X$和一个整数$j\in Y$, 使得他们的和为$k$的方法数.
对于每一个$k\in Z$, 判断$c_k$是否大于$0$, 如果存在一个$k$满足条件, 说明可以找到一个三元组$(i, j, k)$满足$i \in X, j \in Y, k \in Z$并且$i + j = k$.

时间复杂度: FFT需要$O(m\log m)$, 遍历$Z$需要$O(n)$, 总共$O(m\log m+n)$.

长度为$n$的二进制串$A$的一组等距下标$(i,j,k)$满足如下条件:

(a) 设计⼀个$O(n\log n)$的算法，计算$A$中是否存在等距下标.

(b) 设计⼀个$O(n\log n)$的算法，计算$A$中有多少组等距下标.

(a) 算法如下:

\[A(x)=a_0x+a_1x+\dots+a_{n-1}x^{n-1} \]

其中系数$a[t]=A[t]$.

计算$B(x)=A(x)\times A(x)$. (利用FFT)
多项式$B(x)$的系数$b_l$表示集合$\set{(p, q)|p,q\in [0,n-1], A[p]=A[q]=1, p+q=l}$的大小, 即有多少组下标$p$和下标$q$, 满足$A[p]=A[q]=1$和$p+q=l$.
判断是否存在$b_l=2r+1$, 其中$b_l$为多项式$B(x)$的系数, $r=1,2,3,\dots$, 如果存在说明存在等距下标.

等距下标$(i, j, k)$满足$i+k=2j$, 多项式$B(x)$中, $b_lx{^l}$表示和为$l$且对应位置为1的下标有$b_l$组. 所以当$b_l$为大于等于3的奇数时, 一定存在等距下标.

*为什么要求为奇数? 为了保证有$i, j, k$中的$j$, 只有和为$l$的下标有奇数组,才能保证$b_l$组中一定有一组下标为$(j, j)$, 此时才能保证一定有$i+k=2j$, 即存在等距下标.

(b)

在(a)的基础上, 只需遍历$B(x)$的系数, 如果$b_l$为大于等于3的奇数, 则最终结果需要加$\lfloor \frac{b_l}{2} \rfloor$.

posted @ 2023-02-23 14:35 ㅤJJVVㅤ 阅读(38) 评论(1) 编辑收藏举报

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