计算方法7 电阻网络

越发觉得自己物理学得烂了...

前置

前置的物理定律包括如下两条：

1. 欧姆定律，即 \(\phi_i-\phi_j=U_{i,j}=I_{i,j}R\)。定义电导率为 \(w=R^{-1}\)，那么有 \(I_{i,j}=U_{i,j}w\)。
2. 基尔霍夫定律，即对于电阻网络的任意节点 \(v\)，流入的电流等于流出的电流 。

电路网络与 \(L\)

对于单位电阻组成的电路网络 \(G\)，其拉普拉斯矩阵 \(L\) 可以通过上面两条物理定律和电流联系起来。

考虑电路网络内部的节点 \(x\)，根据基尔霍夫定律有

\[b_x=\sum_{y\in N(x)} I_{x,y}=\sum_{y\in N(x)} (\phi_x-\phi_y)w \]

为了方便讨论，一般会规定电源电势为 \(1V\)，或流入电路网络的电流总量为 \(1A\)，此处采用第二个约定。

对于单位电阻有 \(w=1\)，此时上述方程组可以写成

\[L\phi=b \]

其中 \(b_x\) 表示流入 \(x\) 的电流（流入为正，流出为负）。将电源接在图上任意两点间（不妨设为 \(s,tttt\)），其含义为向量 \(b\) 满足 \(b_s=1,b_t=-1\)，其余均为 \(0\)。

再考虑欧姆定律，有

\[B^\intercal \phi=I \]

其中 \(B\) 为图 \(G\) 的 \(n\times m\) 关联矩阵，形如 \(\begin{bmatrix}\cdots&\cdots&\cdots \\ \cdots& 1& \cdots \\ \cdots&\cdots&\cdots \\ \cdots& -1& \cdots\\\cdots&\cdots&\cdots\end{bmatrix}\)，第 \(i\) 列表示边 \(e_i\) 关联哪两条边，正负表示方向。\(m\) 维向量 \(I\) 表示每条边上电流的流量。

如果要考虑非单位电阻的矩阵，那么需要引入 \(m\times m\) 的对角阵 \(W=\text{diag}\set{w_{e_1},w_{e_2}\ldots w_{e_m}}\) 来分别建模每条边的电导率，在需要的时候乘上就行了。

考虑 \(L\) 的另一形式有

\[L=\sum_{e\in E(G)} L_e=\sum_{e\in E(G)} w_e b_e{b_e}^\intercal=BWB^\intercal \]

因此还可以写成

\[L\phi=BWB^\intercal \phi=BWI=b \]

这也是很直观的，对边上的电流分布做一次图上的按邻居求和，就能得到一个节点上的全局电流分布 \(b\)。

电路方程的解

定理：

若 \(L\phi=b\) 有解当且仅当 \(b\perp \bold1\)

"\(\Rightarrow\)"

注意到 \(L\) 实对称，取一组由 \(\bold1\) 扩充而来的正交基 \(\Set{v_i}\)，则 \(\phi=a_1\bold1 + \sum_{i=2}^n a_i v_i\)

此时 \(L\phi=L\left(a_1\bold1+\sum_{i=2}^n a_iv_i\right)=\sum_{i=2}^n a_i\lambda_i v_i\)，根据正交基可知 \(L\phi\perp b\)

直观含义为电阻网络流入的电流要等于流出的电流。

"\(\Leftarrow\)"

若 \(b\perp\bold1\)，那么 \(b=\sum_{i=2}^n b_iv_i\)

此时取 \(\phi=\sum_{i=2}^n \frac{b_i}{\lambda_i}v_i\) 即为一个解。

直观含义为对于一组外部电流的电势解，可以任意整体平移得到同方程的其余解（因为电流只和电势差有关）。在固定某个点电势为 \(0\) 的前提下，就能得到唯一解。

上面关于 "\(\Leftarrow\)" 方向的证明用到了一个构造，实际上可以写成

\[\phi^*=L^\dagger b \]

其中

\[\begin{aligned} L^\dagger&=\sum_{i=2}^n {\lambda_i}^{-1}v_i{v_i}^\intercal \\ b&=\sum_{i=2}^n {\lambda_i} v_i \end{aligned} \]

这意味着，当 \(b\) 是一个合法的电流（满足 \(b\perp \bold1\)）时，\(L\) 存在伪逆。并且 \(L\phi=b\) 的解集为 \(\Set{L^\dagger b + k\bold1\mid k\in \mathbb R}\)

电势能和等效电阻

同样只考虑单位电阻。

考虑令 \(b\) 流入单位电流，电路网络为单位电阻，那么整个电路的等效电阻就是 \(s,t\) 间的电势差，即

\[R_{\text{eff}}=\phi_s-\phi_t=b^\intercal\phi=b^\intercal L^\dagger b \]

对于电势能同样可以通过等效电阻来算。注意到通的是单位电流，并且电阻为 \(R_{\text{eff}}\)，因此电势能就是 \(R_{\text{eff}}\)。

另一种对每条边单独推导的方法如下：

\[E=\sum_{e\in E(G)} E_e=\sum_{(x,y)\in E(G)} {\left({\phi_x-\phi_y}\right)}^2 \]

回忆关于 \(L\) 的二次型，有

\[E=\phi^\intercal L\phi=R_{\text{eff}} \]

并且有结论：对与任意的 \(s,t\) 流，其电势能不会比 \(R_{\text{eff}}\) 更小。即这样的电势分布会最小化单位流的能量损耗，非常神奇的物理意义。