计算方法7 电阻网络

越发觉得自己物理学得烂了...

前置

前置的物理定律包括如下两条：

1. 欧姆定律，即 $\phi_i-\phi_j=U_{i,j}=I_{i,j}R$。定义电导率为 $w=R^{-1}$，那么有 $I_{i,j}=U_{i,j}w$。
2. 基尔霍夫定律，即对于电阻网络的任意节点 $v$，流入的电流等于流出的电流 。

电路网络与 $L$

对于单位电阻组成的电路网络 $G$，其拉普拉斯矩阵 $L$ 可以通过上面两条物理定律和电流联系起来。

考虑电路网络内部的节点 $x$，根据基尔霍夫定律有

$$b_x=\sum_{y\in N(x)} I_{x,y}=\sum_{y\in N(x)} (\phi_x-\phi_y)w$$

为了方便讨论，一般会规定电源电势为 $1V$，或流入电路网络的电流总量为 $1A$，此处采用第二个约定。

对于单位电阻有 $w=1$，此时上述方程组可以写成

$$L\phi=b$$

其中 $b_x$ 表示流入 $x$ 的电流（流入为正，流出为负）。将电源接在图上任意两点间（不妨设为 $s,tttt$），其含义为向量 $b$ 满足 $b_s=1,b_t=-1$，其余均为 $0$。

再考虑欧姆定律，有

$$B^\intercal \phi=I$$

其中 $B$ 为图 $G$ 的 $n\times m$ 关联矩阵，形如 $\begin{bmatrix}\cdots&\cdots&\cdots \\ \cdots& 1& \cdots \\ \cdots&\cdots&\cdots \\ \cdots& -1& \cdots\\\cdots&\cdots&\cdots\end{bmatrix}$，第 $i$ 列表示边 $e_i$ 关联哪两条边，正负表示方向。$m$ 维向量 $I$ 表示每条边上电流的流量。

如果要考虑非单位电阻的矩阵，那么需要引入 $m\times m$ 的对角阵 $W=\text{diag}\set{w_{e_1},w_{e_2}\ldots w_{e_m}}$ 来分别建模每条边的电导率，在需要的时候乘上就行了。

考虑 $L$ 的另一形式有

$$L=\sum_{e\in E(G)} L_e=\sum_{e\in E(G)} w_e b_e{b_e}^\intercal=BWB^\intercal$$

因此还可以写成

$$L\phi=BWB^\intercal \phi=BWI=b$$

这也是很直观的，对边上的电流分布做一次图上的按邻居求和，就能得到一个节点上的全局电流分布 $b$。

电路方程的解

定理：

若 $L\phi=b$ 有解当且仅当 $b\perp \bold1$

"$\Rightarrow$"

注意到 $L$ 实对称，取一组由 $\bold1$ 扩充而来的正交基 $\Set{v_i}$，则 $\phi=a_1\bold1 + \sum_{i=2}^n a_i v_i$

此时 $L\phi=L\left(a_1\bold1+\sum_{i=2}^n a_iv_i\right)=\sum_{i=2}^n a_i\lambda_i v_i$，根据正交基可知 $L\phi\perp b$

直观含义为电阻网络流入的电流要等于流出的电流。

"$\Leftarrow$"

若 $b\perp\bold1$，那么 $b=\sum_{i=2}^n b_iv_i$

此时取 $\phi=\sum_{i=2}^n \frac{b_i}{\lambda_i}v_i$ 即为一个解。

直观含义为对于一组外部电流的电势解，可以任意整体平移得到同方程的其余解（因为电流只和电势差有关）。在固定某个点电势为 $0$ 的前提下，就能得到唯一解。

上面关于 "$\Leftarrow$" 方向的证明用到了一个构造，实际上可以写成

$$\phi^*=L^\dagger b$$

其中

$$\begin{aligned} L^\dagger&=\sum_{i=2}^n {\lambda_i}^{-1}v_i{v_i}^\intercal \\ b&=\sum_{i=2}^n {\lambda_i} v_i \end{aligned}$$

这意味着，当 $b$ 是一个合法的电流（满足 $b\perp \bold1$）时，$L$ 存在伪逆。并且 $L\phi=b$ 的解集为 $\Set{L^\dagger b + k\bold1\mid k\in \mathbb R}$

电势能和等效电阻

同样只考虑单位电阻。

考虑令 $b$ 流入单位电流，电路网络为单位电阻，那么整个电路的等效电阻就是 $s,t$ 间的电势差，即

$$R_{\text{eff}}=\phi_s-\phi_t=b^\intercal\phi=b^\intercal L^\dagger b$$

对于电势能同样可以通过等效电阻来算。注意到通的是单位电流，并且电阻为 $R_{\text{eff}}$，因此电势能就是 $R_{\text{eff}}$。

另一种对每条边单独推导的方法如下：

$$E=\sum_{e\in E(G)} E_e=\sum_{(x,y)\in E(G)} {\left({\phi_x-\phi_y}\right)}^2$$

回忆关于 $L$ 的二次型，有

$$E=\phi^\intercal L\phi=R_{\text{eff}}$$

并且有结论：对与任意的 $s,t$ 流，其电势能不会比 $R_{\text{eff}}$ 更小。即这样的电势分布会最小化单位流的能量损耗，非常神奇的物理意义。