形式语义05 Semantics

Formal Semantic

一般分三种

1. Operational Semantic，操作语义
2. Denotational Semantic，指称语义
3. Axiomatic Semantic，公理语义

主要记一下操作语义

Operational Semantic

对命令式语言而言，一个程序的运行状态可以用 状态\(\times\)当前语句地址 二元组确定，那么就可以用 \(\left<c,\sigma\right>\) 描述一个执行状况，表示接下来要执行 \(c\)，目前的状态为 \(\sigma\)

状态一般指的是 \(\text{Value}^\text{Var}\) 的函数，这里规定 \(\text{Var}\) 表示变量的集合，\(\text{Value}\) 表示值（常量）的集合。注意这里的集合内都是符号，与语义无关。例如我们说\(23456\)是一个值，但它的具体含义是什么在这里并不关心。具体给值的符号赋予含义的操作，一般由另外的函数进行，例如说 \(\text{Meaning}:\text{Value}\mapsto \mathbb N\) 就是一个给所有Integer Tokens赋予具体整数含义的映射

操作语义一般分为大步语义（\(\Downarrow\)Big-Step）和小步语义（\(\rightarrow\)Small-Step），分别用于不同目的的研究。一般操作语义要依靠语法结构进行，即它是Syntax Directed的。因此有时候也叫做SOS（Structural Operational Semantics）

通常讲语义会基于一个具体的语言给一些例子，建议直接找PLDI和POPL的形式语义论文看

Evaluation

\[\frac{\left<x,\sigma\right>\rightarrow\left<{\rm{n_1}},\sigma'\right>}{\left<x+y,\sigma\right>\rightarrow\left<{\rm{n_1}}+y,\sigma'\right>} \\ \\ \frac{\left<y,\sigma'\right>\rightarrow \left<{\rm{n_2}},\sigma''\right>}{\left<{\rm{n_1}}+y,\sigma'\right>\rightarrow\left<{\rm n_1+n_2},\sigma''\right>} \\ \\ \frac{x\in\text{Var}}{\left<x,\sigma\right>\rightarrow\left<\sigma(x),\sigma\right>} \\ \\ \frac{\text{Meaning}({\rm n_1})+\text{Meaning}({\rm n_2})=\text{Meaning}({\rm n_3})}{\left<{\rm n_1+n_2},\sigma\right>\rightarrow\left<{\rm n_3},\sigma\right>} \]

注意这里\(\text{Meaning}\)映射后的加法实际上是正整数的加法，而二元组中的\(+\)仅作为符号，具体含义由\(\text{Meaning}\)决定

以求值为例，来展示一下小步语义的特点

给出的求值语义有一些比较好的性质：

1. 可以看到上面给出的求值语义是确定的(Deterministic)，这并不是所有语言必备的
2. 并且我们对代码、状态二元组的推导只能通过每次寻找当前语句的结构中，最左的可推导的句子，这也不是所有语言必备的；

到这里就可以发现一些情况了。所谓的形式语义无非是刻画某些东西性质的一类工具，具体只能作为解决问题的帮手，而本身只起到一种规范的作用，也就是Reference Manual了。并且这种语义是建立在数学符号上的，可以与具体的实现无关（当然也可以有关，但这并不是我们希望的），可以非常容易地进行推理

对于上面给出的例子，可以用写表达式求值辅助：对于给定的表达式二叉树（why 二叉？），我们规定必须先算左子树，再算右子树。如果遇到了变量，就替换为它在环境中的值；如果遇到了常量+常量，就把token转化为整数，计算之后再变回token。

到这里就又可以发现一些事情。操作语义几乎就是在模拟一个具体的算法、一个抽象计算机上编程语言的执行过程、一个解释执行的解释器。反过来，有了操作语义，我们也可以以此指导编译器、解释器的实现，规范具体细节。

这有什么用？用JYY的话说，我们就可以用一个甚至还没有被实现的语言来编写程序、模拟执行，并且预测这些程序的结果、证明它的细节了。这是多酷的一件事情！

While

\[\frac{[\![exp]\!]\sigma=\bold{true}}{\left<{\bold{while}}\;exp\;\bold{do}\;stmt,\sigma\right>\rightarrow\left<stmt\bold;\;\bold{while}\;exp\;\bold{do}\;stmt,\sigma\right>} \\ \\ \frac{[\![exp]\!]\sigma=\bold{false}}{\left<{\bold{while}}\;exp\;\bold{do}\;stmt,\sigma\right>\rightarrow\left<\bold{skip},\sigma\right>} \\ \\ \frac{\left<stmt_1,\sigma\right>\rightarrow \left<stmt_1',\sigma'\right>}{\left<stmt_1\bold;\;stmt_2,\sigma\right>\rightarrow\left<stmt_1'\bold;\;stmt_2,\sigma'\right>} \\ \\ \frac{}{\left<\bold{skip;}\;stmt,\sigma\right>\rightarrow\left<stmt,\sigma\right>} \\ \\ \frac{}{\left<\bold{skip},\sigma\right>\rightarrow\left<\bold{skip},\sigma\right>} \]

这里主要想讲 \([\![exp]\!]\sigma\) 这个符号的用法。这里表示在环境 \(\sigma\) 下，表达式求出的值是什么。其具体含义与操作语义的求值相同，但是注意到操作语义在执行的过程中会丢失表达式的结构信息（我们在一步步化简），因此通常需要把求值和化简分开，这里表现为用单独的函数表示求值操作，以此简化\(\bold{while}\;\ldots\;\bold{do}\) 的操作语义规则，否则我们得这么写：

\[\frac{}{\left<{\bold{while}}\;exp\;\bold{do}\;stmt,\sigma\right>\rightarrow\left<\bold{if}\;exp\;\bold{then}\;(stmt\bold;\;\bold{while}\;exp\;\bold{do}\;stmt)\;\bold{else}\;\bold{skip},\sigma\right>} \]

Evaluation Context

人总喜欢偷懒，观察到上面的操作语义其实在做很重复的事情：

1. 我们写一堆加法的rules，然后获得了加法操作
2. 再写一堆乘法的rules
3. 再写一堆减法的rules
4. 再写一堆二元运算的rules....

可以发现，既然这些都是二元运算，那么能不能给所有的二元运算定义一次求值顺序（e.g. 最左推导、确定性blabla），然后只需要根据不同情况带入具体算符就可以了？

这就是所谓的Evaluation Context了

仍然以Evaluation为例，可以规定

\[{\cal E}:=[\;]{\,\Big |\,}{\cal E}+exp{\,\Big |\,}{\rm n}+{\cal E}{\,\Big |\,}{\cal E}-exp{\,\Big |\,}{\rm n}-{\cal E} \]

这里我们称 \(\cal E\) 为Evaluation Context，对于带入其中的项 \(r\) 称为Redex

那么我们只需要如下几条rules，就足够表达出带有加减法的表达式求值语法：

\[\frac{\text{Meaning}({\rm n_1})+\text{Meaning}({\rm n_2})=\text{Meaning}({\rm n_3})}{\left<{\rm n_1+n_2},\sigma\right>\rightarrow\left<{\rm n_3},\sigma\right>} \\ \\ \frac{\text{Meaning}({\rm n_1})-\text{Meaning}({\rm n_2})=\text{Meaning}({\rm n_3})}{\left<{\rm n_1-n_2},\sigma\right>\rightarrow\left<{\rm n_3},\sigma\right>} \\ \\ \frac{\left<s,\sigma\right>\rightarrow \left<t,\sigma\right>}{\left<{\cal E}[s],\sigma\right>\rightarrow\left<{\cal E}[t],\sigma'\right>} \]