高等代数复习笔记 常见证明

关于矩阵的秩，王萼芳的书上给了一个比较简单的证明，丘维声的书上给了一个比较容易理解的证明，这里记一下复习复习，算是加深理解

方法一

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引理：齐次线性方程组\(A\bold{x}=\bold{0}\)只有零解当且仅当矩阵\(A\)的行秩\(\ge\)未知数个数。

引理的证明比较简单，只需要证明初等行变换不改变行秩，再观察\(A\)化成阶梯形矩阵之后自由变量的数量就好了

不妨设一个矩阵\(A_{s\times n}\)，且有\(s\le n\)，我们首先证明行秩\(r_s\le\)列秩$ r_n$

可以取出\(r_s\)个线性无关的行向量，不妨记为\(\bold{\alpha_{1},\alpha_{2},\dots,\alpha_{r_s}}\)。根据线性无关的定义有：不存在一组不全为零的数\(k_1,k_2,\dots,k_{r_s}\)使得\(\sum\limits_{i=1}^{r_s}{k_i\bold{\alpha_i}}=0\)。记这些行向量组成的矩阵为\(A_1\)，即\(\bold{x}^{T}A_1=\bold{0}\)只有零解，两边转置得到\({A_1}^T\bold{x}=\bold{0}\)只有零解。由引理可知\(r_s\) \(\le\) \({A_1}^T\)的行秩。那么我们可以从\({A_1}^T\)中取出它行向量的一个极大线性无关组。根据定理这个极大线性无关组的延伸组也是线性无关的，于是我们就把它填充为原本列向量的转置。

这里可以看出矩阵\(A\)的列向量组至少有\(r_s\)个向量线性无关，因此\(r_s\le r_n\)

由对称性可知反过来是同理的，或者你转置一下也行。这个证法我jio得很简洁

方法二

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Step1

首先证明行阶梯形矩阵的行秩=列秩。记\(A\)的非零行数量为\(r\)，首先可以把每一行主元所在的行和列抠出来，不妨记第\(i\)个主元所在列为\(K_i\)，它们交点组成的子矩阵记为\(C\)。很显然\(C\)是一个上三角矩阵，于是\(|C|\neq0\)，也就是说\(C\)中的行列向量组都是线性无关的，同样它们的延伸组也是线性无关的

1. 先看矩阵\(A\)的列向量组，记为\(\bold{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n}\)，它们的特点是每一个向量的后\(s-r\)个元素全为\(0\)，这表示\(A\)的列秩\(r_n=r=r\left(\bold{\alpha_{K_1},\dots,\alpha_{K_r}}\right)\)，于是我们抠出来的这\(r\)个列向量就是\(A\)的列向量组的一个极大线性无关组

2. 再看\(A\)的行向量组，记为\(\bold{}\)\(\bold{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s}\)，由\(|C|\neq0\)可知其中的\(r\)个向量线性无关，剩余\(s-r\)个都是\(\bold0\)，于是行秩\(r_s=r=r\left(\bold{\beta_{K_1},\beta_{K_2},\dots,\beta{K_r}}\right)\)

综合1、2可得，行阶梯形矩阵的行秩等于列秩

Step2

再证明初等行变换不改变行秩

第i行的k倍加到第j行，即向量组\(\bold{\alpha_1,\dots,\alpha_i,\dots,\alpha_j,\dots,\alpha_n}\)变成了\(\bold{\alpha_1,\dots,\alpha_i,\dots,k\alpha_i+\alpha_j,\dots,\alpha_n}\)。这俩显然是等价的，它们的秩也相等

交换i、j两行显然不变，某一行乘上一个非零系数显然不变

Step3

再证明初等行变换不改变列向量组的线性相关性

任取\(A\)中的列向量组\(\bold{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p}\)，其经历一系列初等行变换变成行阶梯形\(\bold{\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_p}\)

如果\(\bold\beta\)线性无关，那么它的前\(p\)个分量组成的\(p\times p\)的矩阵行列式\(\neq0\)，又因为行初等变换不改变行列式的值，因此得到\(\bold\alpha\)的前\(p\)个分量组成的矩阵的行列式也\(\neq0\)；如果线性相关，那么这个结论也是对应的

于是初等行变换不改变列向量组的线性相关性

Step4

最后证明初等行变换不改变列秩

取\(A\)的\(r_n\)个线性无关的列向量构成一个极大线性无关组\(\bold\alpha\)，其经历一系列初等行变换变成\(\bold\beta\)，由Step3可知\(\bold\beta\)中的这\(r_n\)个向量也线性无关，因此初等行变换不会使列秩减小；

再任取\(A\)中的\(r_n+1\)个列向量(如果有的话)，易得这\(r_n+1\)个列向量线性相关，于是其对应的\(\bold\beta\)中的任意\(r_n+1\)个列向量都线性相关，因此初等行变换不会使列秩增大；

因此初等行变换不改变列秩

Step5

综合1234就可以把任意的矩阵通过初等行变换变成行阶梯形矩阵，再由秩的不变性得到任意矩阵的行秩等于列秩