组合游戏与博弈论基础

基本定义

策梅洛定理（Zermelo's theorem）

在二人的有限游戏中，如果双方皆拥有完全的资讯，并且运气因素并不牵涉在游戏中，那先行或后行者当一必有一方有必胜/必不败的策略。

即对于游戏局面$X$，存在确定的游戏结果$P(X)=0or1$，$succ(X)$为$X$的后继局面。

推论

1. 一个状态是必败状态，当且仅当，它的所有后继状态都是必胜状态
   $P(X)=0⟺\forall i,P(succ(X_i))=1$

2. 一个状态是必胜状态，当且仅当，它的至少一个后继状态是必败状态
   $P(X)=1⟺\exists i,P(succ(X_i))=0$

SG游戏

• SG游戏定义：没有后继状态为必败状态
  $succ(X)=\varnothing \Rightarrow P(X)=0$

NIM游戏

桌上n堆石子，游戏者轮流在某一堆取若干(>0)个，取走最后一个石子人胜。
最后局面为
$X_{end}=\{X_1=0,X_2=0,\cdots ,X_n=0\}$
可知NIM游戏是SG游戏。

Bouton定理

在NIM游戏中的必胜状态为：当前局面下所有单堆石子数目的异或和不为0
$P(X)=((x_1\oplus x_2\oplus \cdots \oplus x_n)\ne 0)$

单堆NIM游戏

• SG函数（定义见下）
  $SG(x)=x$
• 游戏结果
  $P(x)=\{\begin{array}{lll}& 0& x=0\\ & 1& otherwise\end{array}$

SG函数

一个游戏局面的SG函数为该局面的后继局面的SG函数集合的mex值
$SG(X)=mex(S)$
其中
$S=\{SG(succ(X_1)),SG(succ(X_2)),\cdots SG(succ(X_n))\}$
mex表示不在集合内的最小非负整数
$mex(S)=min(x|(x\in \mathbb{R})\mathrm{\&}(x\notin S))$

Sprague-Grundy 定理

游戏和的SG函数等于各子游戏SG函数的NIM和
$SG(X)=SG(X_1)\oplus SG(X_2)\oplus \cdots \oplus SG(X_n)$
其中
SG游戏局面为若干SG子游戏之和
$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

SG函数性质

$SG(X)=0⟺\forall i,SG(succ(X_i))\ne 0$
2.
$SG(X)\ne 0⟺\exists i,SG(succ(X_i))=0$
3.
$succ(X)=\varnothing \Rightarrow SG(X)=0$

• 在SG游戏（$succ(X)=\varnothing \Rightarrow P(X)=0$）条件下的等价结论

$P(X)=0⟺SG(X)=0$
$P(X)=1⟺SG(X)\ne 0$

反SG(Anti-SG)游戏

• Anti-SG游戏定义：决策集合为空的为必胜状态
  $succ(X)=\varnothing \Rightarrow P(X)=1$

反NIM (Anti-NIM)游戏

桌上n堆石子，游戏者轮流在某一堆取若干(>0)个，取走最后一个石子人败。

单堆反NIM游戏

• SG函数:不变
  $SG(x)=x$
• 游戏结果:判断标准改变
  $P(x)=\{\begin{array}{lll}& 0& x=1\\ & 1& otherwise\end{array}$
  解释：

1. 若堆中有1个石子，根据定义，为必败状态。
2. 若堆中有0个石子，根据定义，为必胜状态。
3. 若堆中石子数目大于1，存在导致必败状态的取法：取剩下1个石子，因此为必胜状态。

反NIM游戏的游戏结果

$P(X)=\{\begin{array}{lll}& SG(X)=0& \forall i,x_i=1\\ & SG(X)\ne 0& otherwise\end{array}$

Sprague Grundy——Jia Zhihao 定理

对于任意一个 Anti-SG 游戏，如果我们规定当局面中所有的单一游戏的 SG 值为 0 时，游戏结束，则先手必胜当且仅当：

1. 游戏的 SG 函数不为 0 且游戏中某个单一游戏的 SG 函数大于 1；
2. 游戏的 SG 函数为 0 且游戏中没有单一游戏的 SG 函数大于 1。
   即，在Anti-SG游戏（$succ(X)=\varnothing \Rightarrow P(X)=1$）条件下的等价结论
   $P(X)=\{\begin{array}{lll}& SG(X)=0& \forall i,SG(X_i)\le 1\\ & SG(X)\ne 0& \exists i,SG(X_i)>1\end{array}$

引论

“规定当局面中所有的单一游戏的 SG 值为 0 时，游戏结束”过于严格， 完全可以替换成“当局面中所有的单一游戏的 SG 值为 0 时，存在一个单一游戏它的 SG 函数能通过一次操作变为 1”。
$(\forall i,SG(X_i)=0)\mathrm{\&}(\exists i,SG(succ(X_i))=1)\Rightarrow P(X)=1$

SG游戏和反SG游戏模型

除了上述提到的NIM游戏和反NIM游戏，还存在几类博弈论组合游戏中的经典变体。

巴什博弈（Bash game）

有一堆总数为n的物品，2名玩家轮流从中拿取物品。每次至少拿1件，至多拿m件，不能不拿，最终将物品拿完者获胜。
（单堆NIM游戏变式-有上限的单堆NIM游戏）

巴什博弈游戏结果

在先取完者胜的巴什博弈中，若n可被m+1整除，则先手必败，否则先手必胜。
$P(n)=((n\mathrm{\%}(m+1))\ne 0)$

反巴什博弈（Anti-Bash game）游戏结果

在先取完者败的反巴什博弈中，若n整除m+1的余数为1则先手必败，否则先手必胜。
$P(n)=((n\mathrm{\%}(m+1))\ne 1)$

威佐夫博弈（Wythoff's game）

有两堆各若干个物品，两个人轮流从任一堆取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

奇异局势

$X=(a[k]，b[k]),k\in \mathbb{R},P(X)=0$
$a[0]=b[0]=0$,$a[k]$是未在前面出现过的最小自然数，即$mex(\{a[0],a[1],\cdots ,a[k-1],b[0],b[1],\cdots ,b[k-1]\})$,而 $b[k]=a[k]+k$。

Betty 定理 （Betti theorem）

设$a$、$b$是正无理数且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$。记$P=\{\lfloor na\rfloor |n\in {\mathbb{N}}^{+}\}$，$Q=\{\lfloor nb\rfloor |n\in {\mathbb{N}}^{+}\}$，($\lfloor x\rfloor$指的是取$x$的整数部分$floor(x)$)，则$P$与$Q$是${\mathbb{N}}^{+}$的一个划分，即$P\cap Q=Ø$且$P\cup Q={\mathbb{N}}^{+}$。

Betty序列

$a[n]$、$b[n]$是Betty序列，可以通过Betty定理求解。

$a_n=[\alpha n],b_n=[\beta n]$，有 $a_n+n=[(\alpha +1)n]=[\beta n]$，解方程 $\frac{1}{\alpha +1}+\frac{1}{\alpha }=1$

$\alpha =\frac{\sqrt{5}+1}{2},\beta =\alpha +1$

$a_n=\left[\frac{\sqrt{5}+1}{2}n\right]$，$b_n=a_n+n$ （方括号$[x]$表示四舍五入取整函数$round(x)$)

参考资料

1. 百度百科
2. 维基百科
3. 《算法竞赛入门提高》刘汝佳
4. 国家集训队论文集2009-贾志豪