【模板】一般图最大匹配（带花树算法）/洛谷P6113

1|0题目链接

https://www.luogu.com.cn/problem/P6113

2|0题目大意

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，求该图的最大匹配。

3|0题目解析

二分图最大匹配，一般用匈牙利算法完成，图中只存在偶环。

而一般图不能分为左右两部，存在奇环，如何处理奇环，是带花树算法的关键。

若将偶环缩为一点，则该图可以简化为只有奇环的无向图。

对于奇环内部，两两匹配后必定多出一个点不能匹配，则将该点与环外部的点相匹配即可。

通过类似匈牙利算法的多次增广，可以找到最大匹配。

点数为 $n$ ，边数为 $m$ 。

时间复杂度： $O (n^{2} m)$

4|0参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;
int  n, m, cnt;
int fa[N], vis[N], tag[N], pre[N], match[N];
queue <int> q;
vector <int> e;
vector <int> G[N];

void addEdge(int a, int b, int i)
{
    e.push_back(b);
    e.push_back(a);
    G[a].push_back(i);
    G[b].push_back(i ^ 1);
}
inline int find(int x) {return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);}
inline int lca(int x, int y)
{
    ++cnt;
    while (true)
    {
        if (x)
        {
            x = find(x);
            if (tag[x] == cnt) return x;
            tag[x] = cnt;
            x = pre[match[x]];
        }
        swap(x, y);
    }
}
inline void blossom(int x, int y, int p)
{
    while (find(x) != p)
    {
        pre[x] = y; y = match[x];
        vis[y] = 1; q.push(y);
        if (find(x) == x) fa[x] = p;
        if (find(y) == y) fa[y] = p;
        x = pre[y];
    }
}
bool bfs(int s)
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i) vis[i] = pre[i] = 0, fa[i] = i;
    while (!q.empty()) q.pop();
    q.push(s);
    vis[s] = 1;
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.front(); q.pop();
        for (int i = 0; i < G[u].size(); ++i)
        {
            int v = e[G[u][i]];
            if (vis[v] == 2 || find(u) == find(v)) continue;
            if (!vis[v])
            {
                vis[v] = 2, pre[v] = u;
                if (!match[v])
                {
                    int x = v;
                    while (x)
                    {
                        int y = pre[x], z = match[y];
                        match[x] = y, match[y] = x;
                        x = z;
                    }
                    return 1;
                }
                vis[match[v]] = 1;
                q.push(match[v]);
            }
            else
            {
                int p = lca(u, v);
                blossom(u, v, p);
                blossom(v, u, p);
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        addEdge(a, b, i << 1);
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if (!match[i] && bfs(i)) ans++;
    printf("%d\n", ans);
    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d%c", match[i], i == n ? '\n' : ' ');
    return 0;
}