观光之旅

链接

https://www.acwing.com/problem/content/description/346/

题目

给定一张无向图，求图中一个至少包含3个点的环，环上的节点不重复，并且环上的边的长度之和最小。

该问题称为无向图的最小环问题。

你需要输出最小环的方案，若最小环不唯一，输出任意一个均可。

输入格式
第一行包含两个整数N和M，表示无向图有N个点，M条边。

接下来M行，每行包含三个整数u，v，l，表示点u和点v之间有一条边，边长为l。

输出格式
输出占一行，包含最小环的所有节点（按顺序输出），如果不存在则输出’No solution.’。

数据范围
1≤N≤100,
1≤M≤10000,
1≤l<500
输入样例：

5 7
1 4 1
1 3 300
3 1 10
1 2 16
2 3 100
2 5 15
5 3 20

输出样例：

1 3 5 2

思路

首先要清楚flody算法的原理

f[k][i][j]表示从i到j中间路径点编号（不包括i,j）的最大值是k的最短路。

用集合的角度来分析，形如这样的环，i-k,k-j是边，i-j是路径，这样保证了是环，且环上的点数至少是3，只要考虑了所有点对以及所有点对经过的中间点，就不会有遗漏：

k表示如上环中的最大节点编号k(注意不是路径)，通过确定i,j来考虑第k类。

所以在求解的过程中，从小到大枚举k，在k没有考虑进任何（i,j）点对之间的最短路之前去计算如上图的环，求出环之后再将k考虑进i-j的最短路环中。
最后用分治的思想去求环上的点。
需要注意的是,求环的过程中：

for(int k=1;k<=n;++k)
        for(int i=1;i<k;++i)
            for(int j=i+1;j<k;++j)
                if((LL)g[i][k]+g[k][j]+d[j][i]<circled)

和

for(int k=1;k<=n;++k)
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=1;j<=n;++j)
                if(i!=j&&j!=k&&i!=k&&(LL)g[i][k]+g[k][j]+d[j][i]<circled)

都是正确的写法。但是flody不能按照第一个代码那样写。因为求环只考虑了包含i-k-j这两条边的最小环，而foldy考虑的是一条路径。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
typedef long long LL;
int g[N][N],d[N][N];
int pos[N][N],cnt;
int path[N];
void get_path(int l,int r){
   if(l==0||r==0) return ;
   get_path(l,pos[l][r]);
   if(pos[l][r])
   path[++cnt]=pos[l][r];
   get_path(pos[l][r],r);
}
int main(){
   int n,m;
   cin>>n>>m;
   memset(g,0x3f,sizeof g);
   while(m--){
       int x,y,z;
       cin>>x>>y>>z;
       g[x][y]=g[y][x]=min(g[x][y],z);
   }
   for(int i=1;i<=n;++i) g[i][i]=0,pos[i][i]=i;
   memcpy(d,g,sizeof d);
   
   int circled=0x3f3f3f3f;
   for(int k=1;k<=n;++k){
       for(int i=1;i<k;++i){
           for(int j=i+1;j<k;++j){
               if((LL)g[i][k]+g[k][j]+d[j][i]<circled){
                   circled=g[i][k]+g[k][j]+d[j][i];
                   cnt=0;
                   path[++cnt]=i;
                   get_path(i,j);
                   path[++cnt]=j;
                   path[++cnt]=k;
               }
           }
       }
       for(int i=1;i<=n;++i){
           for(int j=1;j<=n;++j){
               if(d[i][j]>(LL)d[i][k]+d[k][j]){
                   d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
                   pos[i][j]=k;
               }
           }
       }
   }
   if(circled==0x3f3f3f3f)puts("No solution.");
   else {
       for(int i=1;i<=cnt;++i) cout<<path[i]<<" ";
   }
   
   return 0;
}