糖果

链接

https://www.acwing.com/problem/content/1171/

题目

幼儿园里有 N 个小朋友，老师现在想要给这些小朋友们分配糖果，要求每个小朋友都要分到糖果。

但是小朋友们也有嫉妒心，总是会提出一些要求，比如小明不希望小红分到的糖果比他的多，于是在分配糖果的时候， 老师需要满足小朋友们的 K 个要求。

幼儿园的糖果总是有限的，老师想知道他至少需要准备多少个糖果，才能使得每个小朋友都能够分到糖果，并且满足小朋友们所有的要求。

输入格式
输入的第一行是两个整数 N,K。

接下来 K 行，表示分配糖果时需要满足的关系，每行 3 个数字 X,A,B。

如果 X=1．表示第 A 个小朋友分到的糖果必须和第 B 个小朋友分到的糖果一样多。
如果 X=2，表示第 A 个小朋友分到的糖果必须少于第 B 个小朋友分到的糖果。
如果 X=3，表示第 A 个小朋友分到的糖果必须不少于第 B 个小朋友分到的糖果。
如果 X=4，表示第 A 个小朋友分到的糖果必须多于第 B 个小朋友分到的糖果。
如果 X=5，表示第 A 个小朋友分到的糖果必须不多于第 B 个小朋友分到的糖果。
小朋友编号从 1 到 N。

输出格式
输出一行，表示老师至少需要准备的糖果数，如果不能满足小朋友们的所有要求，就输出 −1。

数据范围
\(1≤N<10^5,\)
\(1≤K≤10^5,\)
\(1≤X≤5,\)
\(1≤A,B≤N\)
输入样例：

5 7
1 1 2
2 3 2
4 4 1
3 4 5
5 4 5
2 3 5
4 5 1

输出样例：

11

思路

差分约数
(1)求不等式组解的可行解。
源点需要满足的条件：从源点出发可以走到所有边，只有走到所有边才能把每条边(每一个不等式)都考虑到。
步骤
 [1]将每一个不等式同一成:\(x_i≤y_i+c_i\)，建立一条从\(y_i\)到\(x_i\)的一条长度为\(c_i\)的边。
 [2]找一个超级虚拟源点0，从这个点出发走到所有边。
 [3]跑一次spfa求最短路，判断是否存在负环。
(2)求最大值或最小值，（这里的值指的是所有变量的最值）
结论：如果求最大值，则求一次最短路；如果求最小值，则求一次最长路。
解释：以求最大值为例，最短路中满足点u到v，存在三角不等式\(d[v]≤d[u]+w\)，\(d[v]\)一定满足所有的三角不等式，在以\(x_i\)为终点的一条最短路径中构成不等式链：\(x_i≤x_j+c_1≤x_k+c_1+c_2≤...≤c_1+c_2+...\)，求出的所有的上界，最终\(x_i\)的最大值等于所有上界的最小值。求最小值同理。
做法：求最大值问题把所有不等式统一为：\(x_i≤y_i+c_i\)，建立一条从\(y_i\)到\(x_i\)权值为\(c_i\)的边。求最小值把所有不等式统一为：\(x_i≥y_i+c_i\)，建立一条从\(y_i\)到\(x_i\)权值为\(c_i\)的边。
如何转化\(x_i≤c\)和\(x_i≥c\)的问题：
 建立一个虚拟源点0，然后建立一条边从0到\(x_i\)边权为\(c\)或\(-c\)。

这道题求最小值，那么就把所有等式转化为\(x_i≥y_i+c_i\)，表示从\(x_i\)到\(y_i\)边权为\(c_i\)的边。
\(A=B\)：转化为\(B≥A+0,A≥B+0\)建立A,B之间的双向边，边权为0；
\(A<B\)：转化为\(B≥A+1\)，建立一条从A到B边权为1的边；
\(A≥B\)：转化为\(A≥B+0\)，建立一条从B到A边权为0的边；
\(A>B\)：转化为\(A≥B+1\)，建立一条从B到A边权为1的边；
\(A≤B\)：转化为\(B≥A+0\)，建立一条从A到B边权为0的边.

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=100010,M=300010;
int h[N],idx,e[M],w[M],nex[M],q[N],st[N],cnt[N],n,m;
LL dis[N];
void add(int u,int v,int c){
    e[idx]=v;
    nex[idx]=h[u];
    w[idx]=c;
    h[u]=idx++;
}
bool spfa(){
    memset(dis,-0x3f,sizeof dis);
    int hh=0,tt=0;
    q[tt++]=0;
    dis[0]=0;
    cnt[0]=0;
    st[0]=1;
    while(hh!=tt){
        int u=q[--tt];;
        if(hh==N) hh=0;
        st[u]=0;
        for(int i=h[u];~i;i=nex[i]){
            int v=e[i],c=w[i];
            if(dis[v]<dis[u]+c){
                dis[v]=dis[u]+c;
                cnt[v]=cnt[u]+1;
                if(cnt[v]>=n+1) return false;
                if(!st[v]){
                    q[tt++]=v;
                    st[v]=1;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}
int main(){
    memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,u,v,x;i<=m;++i){
        scanf("%d%d%d",&x,&u,&v);
        if(x==1){
            add(u,v,0);
            add(v,u,0);
        }
        if(x==2){
            add(u,v,1);
        }
        if(x==3){
            add(v,u,0);
        }
        if(x==4){
            add(v,u,1);
        }
        if(x==5){
            add(u,v,0);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        add(0,i,1);
    }
    if(!spfa()){
        puts("-1");
    }
    else {
        LL sum=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)    sum+=dis[i];
        cout<<sum<<endl;
    }
    return 0;
}