牡牛和牝牛

题目链接：

https://www.acwing.com/problem/content/1309/

Description

约翰要带 N 只牛去参加集会里的展示活动，这些牛可以是牡牛，也可以是牝牛。

牛们要站成一排，但是牡牛是好斗的，为了避免牡牛闹出乱子，约翰决定任意两只牡牛之间至少要有 K 只牝牛。

请计算一共有多少种排队的方法，所有牡牛可以看成是相同的，所有牝牛也一样，答案对\(5000011\)取模。

Input

一行，输入两个整数 N 和 K。
数据范围
\(1≤N≤10^5,\)
\(0≤K<N\)

Output

一个整数，表示排队的方法数。

Sample Input

4 2

Sample Output

6

Hint

6 种方法分别是：牝牝牝牝，牡牝牝牝，牝牡牝牝，牝牝牡牝，牝牝牝牡，牡牝牝牡。

题意

牝牛用0表示，牡牛用1表示。即求有多少种只包含01的序列长度为n，1之间至少有k个0.

题解

递推做法的组合问题。\(f[i]\)表示在i位置放置最后一个1，\(f[i]=f[1\) ~ \((i-k-1)]\)之和。用一个常量记录\(f(1\) ~ \(i-k-1)\)之和，时间复杂度\(O(n)\).

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010,mod=5000011;
int f[N];
int main(){
    int n,k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    f[0]=1;
    int tmp=1;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        (f[i]+=tmp)%=mod;
        if(i-k>0)
            (tmp+=f[i-k])%=mod;
    }
    int res=0;
    for(int i=0;i<=n;++i){
        (res+=f[i])%=mod;
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}