愤怒的小鸟

集合DP问题

524. 愤怒的小鸟

Kiana最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。   
简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。 
有一架弹弓位于 (0, 0) 处，每次Kiana可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟， 小鸟们的飞行轨迹均为形如 y = ax2 + bx 的曲线，其中 a, b 是Kiana指定的参数，且必须满足 a < 0 。
当小鸟落回地面（即 x 轴）时，它就会瞬间消失。
在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 n 只绿色的小猪，其中第 i 只小猪所在的坐标为 (xi, yi) 。 
如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 (xi, yi) ，那么第 i 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行； 
如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 (xi, yi) ，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 i 只小猪产生任何影响。 
例如，若两只小猪分别位于 (1, 3) 和 (3, 3) ，Kiana可以选择发射一只飞行轨迹为 y = −x2 + 4x 的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。 
而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。 
这款神奇游戏的每个关卡对Kiana来说都很难，所以Kiana还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个这个游戏。   
这些指令将在输入格式中详述。 
假设这款游戏一共有 T 个关卡，现在Kiana想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。  
由于她不会算，所以希望由你告诉她。
注意:本题除NOIP原数据外，还包含加强数据。
输入格式
第一行包含一个正整数T，表示游戏的关卡总数。
下面依次输入这T个关卡的信息。
每个关卡第一行包含两个非负整数n,m，分别表示该关卡中的小猪数量和Kiana输入的神秘指令类型。
接下来的n行中，第i行包含两个正实数(xi,yi)，表示第i只小猪坐标为(xi,yi)，数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。
如果m=0，表示Kiana输入了一个没有任何作用的指令。
如果m=1，则这个关卡将会满足：至多用⌈n/3+1⌉只小鸟即可消灭所有小猪。
如果m=2,则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少 ⌊n/3⌋只小猪。
保证1≤n≤18，0≤m≤2，0<xi,yi<10，输入中的实数均保留到小数点后两位。
上文中，符号 ⌈c⌉ 和 ⌊c⌋ 分别表示对 c 向上取整和向下取整，例如 ：⌈2.1⌉=⌈2.9⌉=⌈3.0⌉=⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3。
输出格式
对每个关卡依次输出一行答案。
输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。
输入样例：
2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00
输出样例：
1
1

思路：两只小猪可以确定一个抛物线，因为抛物线经过(0,0)点以及两只小猪，三点确定一个抛物线，且抛物线一定是开口向下的，且一定是a*x*x+b*x=y，a不能为0否则就是直线。那么相当于求解在n*n(可能会有重复)中选择最少的抛物线数量完全覆盖了这n个点，是重复覆盖问题。首先用暴力的思路来向，枚举每一个状态，找到任意一个没有没覆盖到的点，枚举所有可以覆盖到这个点的抛物线(因为这个点一定会被覆盖到，所以可以覆盖到它的直线至少会被选择一条)，DFS更新状态，直到所有点被覆盖。由于每个状态的最小值是固定的，所以状压DP可以省去重复枚举的次数。状压DP:枚举每个状态，再找到没有被覆盖的任意一个点，更新为了覆盖这个点增加每个新的抛物线后新的状态的最小值

#include<bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<double,double> PDD;
const double EPS=1e-6;
const int N=20;
PDD pig[N];
int f[1<<N];
int path[N][N];
int main(){
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        for(int i=0;i<n;++i){
            cin>>pig[i].x>>pig[i].y;
        }
        memset(path,0,sizeof path);
        for(int i=0;i<n;++i){
            path[i][i]=(1<<i);
            for(int j=0;j<n;++j){
                double x1=pig[i].x,y1=pig[i].y;
                double x2=pig[j].x,y2=pig[j].y;
                if(abs(x2-x1)<EPS) continue;
                double a=(y1*x2-y2*x1)/(x1*x1*x2-x2*x2*x1);
                double b=(y1-a*x1*x1)/x1;
                if(a>=0) continue;
                for(int k=0;k<n;++k){
                    double x=pig[k].x,y=pig[k].y;
                    if(abs(a*x*x+b*x-y)<EPS) path[i][j]|=(1<<k);
                }
            }
        }
        memset(f,0x3f,sizeof f);
        f[0]=0;
        for(int i=0;i<(1<<n);++i){
            int k=-1;
            for(int j=0;j<n;++j){
                if(!(i&(1<<j)) ){
                    k=j;
                    break;
                }
            }
            if(k==-1) continue;
            for(int j=0;j<n;++j){
                f[(i|path[k][j])]=min(f[i]+1,f[(i|path[k][j])] );
            }
        }
        cout<<f[(1<<n)-1]<<endl;
    }
    return 0;
}