数学期望相关性质

期望定义式

\[E(X)=\sum_{i}X_{i}*P(X=X_{i}) \]

期望的线性性

线性指的是加法和数乘。

和式的期望等于和式中所有项的期望之和，即：

\[E(X+Y)=E(X)+E(Y) \]

\[E(\sum_{i=1}^{n}X_{i})=\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}) \]

常数无论作为加数还是乘数，都可以提到外面，即：

\[E(X+c) = E(X) + c \]

\[E(aX+bY)=aE(x)+bE(Y) \]

\[E[\sum_{i=1}^{n}a_{i}X_{i}]=\sum_{i=1}^{n}a_{i}E(X_{i})(a_{i}为常数) \]

变量之间相乘是非线性的。因此对于两个变量相乘，期望不可拆解（只有相互独立时等式成立）。即：

\[E(XY)\neq E(X)E(Y) \]

其他性质

方差\(Var(X)\)与期望之间的关系：

\[Var(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2} \]