卡特兰数

求解Catalan(n)的四个公式:

  1. f(n)=C2nnC2nn1

  2. f(n)=C2nn/(n+1)

  3. f(n)=f(n1)(4n2)/(n+1)

  4. f(n)=i=0n1f(i)f(n1i)

Catalan(n)的相关应用(简记为Cn):

  1. 栈混洗> Cn
  2. n对括号组成的合法括号序列> Cn
  3. 含有n个节点的二叉树的形态数 -> Cn(利用公式4,划分为根节点和左右子树,递归计算)
  4. 含有n+1个叶节点的满二叉树(每个节点要么无子节点,要么有两个子节点)的形态数 > Cn (将n+1个叶节点去掉,就等价于3,所以3的每种方案补充上外结点就对应4的一种方案)
  5. 圆上2n个点,连n条线段,要求任意两条线段互不相交的方案数(编号为1,2,...,2n,奇编号看做左括号,偶编号看做右括号)> Cn
  6. 正方形中,从(0,0)(n,n),每次只能向上或向右走一步,只能在对角线的下半侧移动:
    • 能碰对角线 > Cn
    • 不能碰对角线 > Cn1
  7. n+2条边的凸多边形通过顶点连线,划分成若干三角形,且连续不能相交> Cn(利用公式4)
posted @   jxs123  阅读(8)  评论(0编辑  收藏  举报
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