数据结构（七）：堆
一、 堆的概述
堆是计算机中一种重要的数据结构，它是完全二叉树的数组体现。
二、 堆的特性
2.1、堆是完全二叉树
堆是完全二叉树的数据结构，除了树的最后一层结点不需要是满的，其他各层级从左到右都必须是满的，如果最后一层结点没有满，那么要求是左满右不满
2.2、堆用数组来实现
堆是用数组来存储上述完全二叉树的结点元素的，如根结点放在索引1位置处，根结点的左右子树放在2和3的位置，2和3的子结点又分别放在索引4,5和6,7的位置处，以此类推
注：由于堆元素一般从数组的索引1处开始存储，所以0索引处不存放元素
2.3、堆的父子结点在数组中有规律存在
如一个节点的位置为索引k处，那么：
父节点的位置：k/2
左子树的位置：2*k
右子树的位置：2*k+1
所以在数组a[]中，我们可以通过a[k/2]来查找父节点，a[2*k]来查找左子结点，以此类推
2.4、每个结点都大于两个子结点
堆中每个结点元素都要大于两个子结点，两个子结点仅仅是都小于父节点，在左右子树中没有严格的要求
三、 堆的实现思路
1、 增加堆元素
堆元素的增加其实是往数组中去添加元素，做法是在数组最后插入元素，然后通过树节点的上浮和父节点比较大小来调整位置，最终使得既插入元素又保证堆有序。
如下图演示插入结点S的过程：
3.1.1 初始堆数组
3.1.2 往数组末端插入结点S，即H的右子结点
3.1.3 添加的元素S破坏了堆的有序性和父节点必须大于两个子结点的特性，故对S做上浮处理，和H替换
3.1.4 上述上浮操作后堆依旧无序，再对S和P进行上浮替换，经此步替换后堆重新有序，并且满足堆的特性，堆元素插入成功
2、 删除堆元素
假设删除堆顶最大的元素，则步骤如下：
3.2.1 交换堆顶和堆末结点的元素，并删除堆末元素，即将数组最末位元素置空
3.2.2 由于此时根结点为H，破坏了堆的有序性和特性，所以此时将H与子结点较大值进行替换，以此进行直到H比左右子树都大，则堆重新有序
3、 修改元素
同数组的元素修改操作相同。
4、 查找元素
由于堆的数据元素以数组来表示，故查找元素可通过遍历数组索引查找对应的值实现
四、 堆的代码实现
综上第三节描述，堆操作的思路，堆的实现代码如下：
|
public class Heap<T extends Comparable<T>> {
//初始化堆 private T[] items;
//初始化个数 private int N;
/** * 构造方法，传入堆的初始大小 * @param size */ public Heap(int size) { items = (T[]) new Comparable[size + 1]; N = 0; }
/** * 判断堆中索引i处的值是否小于j处的值 * @param i * @param j * @return */ private boolean bigger(int i,int j) { return items[i].compareTo(items[j])>0; }
/** * 元素位置的交换 * @param col * @param i * @param j */ private void switchPos(int i,int j) { T temp = items[i]; items[i] = items[j]; items[j] = temp; }
/** * 删除堆中最大的元素，并且返回这个元素 * @return */ public T delMaxValue() { //获取根结点最大值 T maxValue = items[1];
//交换根结点和尾结点 switchPos(1, N);
//尾结点置空 items[N] = null;
//堆数量减1 N--;
//根结点下沉 sink(1);
return maxValue; }
/** * 往堆中插入一个元素t * @param t */ public void insert(T t) { items[++N] = t; swim(N); }
/** * 使用上浮算法，使堆中索引k处的值能够处于一个正确的位置 * @param k */ private void swim(int k) { while(k>1) { if(bigger(k/2, k)) { switchPos(k/2, k); }
k = k/2; } }
/** * 使用下沉算法，使堆中索引k处的值能够处于一个正确的位置 * @param k */ private void sink(int k) { while(2 * k <= N) { int max; //存在右子结点的情况 if(2*k+1 <= N) { if(bigger(2*k,2*k+1)) { max = 2 * k; }else { max = 2 * k + 1; } }else { max = 2 * k; }
//当前结点不小，则退出 if(bigger(k, max)) { break; }
switchPos(k, max); k = max; } } } |
五、 堆的构造
由上述堆的特性和操作可知，对堆的下沉操作，必须发生在堆长度N/2的位置处，因为树节点的左右节点为空，无法再进行下沉处理。
因此，在构建一个堆时，我们可以创建一个新数组，将原数组0~N-1的元素拷贝至新数组的1-N处，并对N/2处往前的元素进行下沉处理，当N/2到1处的元素下沉完毕时，即堆构造完成，此时堆有序
构造示例如下：
六、 堆排序及代码实现
堆排序的实现思路：
1、 如上所述构建好堆，使得初始堆有序和符合堆的特性
2、 重复删除根结点的操作，即把根结点和堆末位结点交换，对根结点位置处的元素做下沉调整，下沉时分别比较左右节点，将较大值往上提
3、 每次末位删除掉的根结点不再参与堆的删除和下沉操作
4、 如上操作直到堆剩下一个元素为止
如下所示为堆排序思路的演示图：
堆排序的代码实现如下：
|
import java.util.Arrays;
public class HeapSort {
/** * 堆排序 * @param souce * @param heap */ public static void sort(Comparable[] source) { //创建一个比原数组大1的heap Comparable[] heap = new Comparable[source.length+1];
//构建heap initHeap(source, heap);
//初始化heap最大位置索引 int N = heap.length - 1;
//排序操作,N=1时为排序完成（只有根结点） while(N!=1) { //首先交换目标结点和最末结点的位置 switchPos(heap, 1, N);
//排序完数量-1 N--;
//在N范围内完成下沉调整 sink(heap, 1, N);
}
//堆heap已有序，将有序的元素拷贝回原数组，即完成source的排序 System.arraycopy(heap, 1, source, 0, source.length); }
/** * 比较堆中两个元素的大小 * @param heap * @param i * @param j * @return */ public static boolean bigger(Comparable[] heap,int i,int j) { return heap[i].compareTo(heap[j]) > 0; }
/** * 根据原数组，构建出初始堆 * @param source * @param heap */ public static void initHeap(Comparable[] source,Comparable[] heap) { //原数组拷贝到heap中 System.arraycopy(source, 0, heap, 1, source.length);
//对heap做初始化构造处理,从非叶子结点的N/2开始下沉，依次减1 int heapL = heap.length; for(int i = heapL-1/2; i >= 1; i--) { sink(heap, i, heapL-1); } }
/** * 堆排序的下沉调整 * @param heap * @param i * @param j */ public static void sink(Comparable[] heap,int target,int range) { while(2 * target <= range) { int max; //存在右子结点的情况 if(2*target+1 <= range) { if(bigger(heap,2*target,2*target+1)) { max = 2 * target; }else { max = 2 * target + 1; } }else { max = 2 * target; }
//当前结点不小，则退出 if(bigger(heap,target, max)) { break; }
switchPos(heap,target, max); target = max; } }
/** * 元素位置的交换 * @param col * @param i * @param j */ private static void switchPos(Comparable[] heap,int i,int j) { Comparable temp = heap[i]; heap[i] = heap[j]; heap[j] = temp; }
public static void main(String[] args) { String[] arr = {"S", "O", "R", "T", "E", "X", "A", "M", "P", "L", "E"}; HeapSort.sort(arr); System.out.println(Arrays.toString(arr)); } } |
