数据结构（六）：复杂树之2-3树

 

一、 二叉平衡树的时间复杂度

　　在数据结构（五）：树中的二叉查找树中，我们发现当二叉树平衡时，我们查找一个元素需要遍历的层级是log(N+1)，按照大O算法可得时间复杂度为logN，这种查找比链表和数组的O（N）算法要

　　高效得多。

 　　

       但是当二叉树不平衡时，我们发现它的查找效率依旧是O（N），比如如下情况：

        

二、 2-3树概述

　　为了保证二叉树的平衡，提高树查找的效率，减少遍历的层级，我们允许一个结点保留多个键，并且链接的不止两条链

 　　

　　2-结点：

　　含有一个键和两条链，左链指向的键都小于该结点，右链指向的键都大于该结点

　　3-结点：

　　含有两个键和三条链，左链指向的键都小于该结点，右链指向的键都大于该结点，中链指向的的键介于该结点的两个键之间

　　注：2-3树中不允许有大于等于3个键的结点存在

三、 2-3查找树

　　2-3树的查找思路与二叉查找树相似，对于需要查找的键，从根结点开始遍历，小于往左，大于则往右，当找到3-结点时，若查找的键介于3-结点的两个键之间，则找中链接对应的结点，命中则返回。

　　查找过程没命中时则继续递归查找子树。

　　如图：查找键为H的结点，首先找根结点M，由于H<M，往下找左子树

 　　

　　查找到左子树为3-结点，判断H>E并且H<J，则找中链结点的键

 　　

四、 2-3树的插入

　　往2-3树中插入结点的思路和二叉树一致，首先进行查找，根据2-3树的特性将结点挂到合适的位置，保持树的平衡。由于2-3树既包含2-结点同时也包含3-结点，因此在插入时针对不同类型的结点

　　有不同的处理方式：

　　一、 往2-结点中插入新键

　　插入K：往2-结点中插入新键时，我们可以保证树层级不变的基础上，将2-结点转化为3-结点

 　　

　　二、 往只有一个3-结点中插入新键

 　　

　　往3-根结点中插入S

 　　

　　将中键提升为根结点，左右两键成为左右子树

 　　

　　三、 往一个父结点为2-结点的3-结点中插入新键

　　往该2-3树中插入元素Z

 　　

　　

　　将3-结点的中间元素往上提

 　　

　　四、 往一个父结点为3-结点的3-结点中插入新键

　　往该2-3树中插入元素D

 　　

 

 

 　　

　　将插入后形成的3-结点往上提

 　　

　　将形成的3-父节点再次取中间值往上提升一层

 　　

　　五、 插入结点到根结点的路径上是3-结点

　　往该2-3树中插入D

　　

 

 

 　　

　　将插入后形成的3-结点取中间值往上提

 　　

　　将形成的3-根结点再次分解

 　　

五、 2-3树总结

　　5.1平衡的2-3树特性：

　　（1）任意空链接到根结点的长度是相等的

　　（2）非根结点的4-（3个键）结点变化为3-结点时，树高不变，只有当4-结点为根结点，分解后树的高度才会+1

　　（3）2-3树与普通二叉树相比，不同的是2-3树自底向上生长，普通二叉树自顶向下生长。

　　5.2引入2-3树思想的理由

　　2-3树本身的实现是很困难的，引入2-3树的思想是为了下一章节的红黑树做铺垫