一个极限小问题

问题:

我们如何构造一个序列，使他的极限为$\sqrt{2}$？

让我们从一个根号二的近似 s 开始。
$s\times \frac{2}{s}=2$
因此，$\sqrt{2}$ 在 s 和 $\frac{2}{s}$ 之间。

故而，一个更好的近似是他们的算数平均值

new approximation = $\frac{s+\frac{2}{s}}{2}$

由几何平均数小于等于算数平均数，故而

$\sqrt{2}=\sqrt{s\times \frac{2}{s}}<\frac{s+\frac{2}{s}}{2}$

我们生成一个序列$s_{n+1}=\frac{s_n+\frac{2}{s_n}}{2}$

则

$$\begin{array}{}\text{(1)}& s_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{s_n+\frac{2}{s_n}}{2}-\sqrt{2}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& s_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{1}{2s_n}\times (s_n^2+2-2_{s}n\sqrt{2})\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& s_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{1}{2s_n}\times (s_n-\sqrt{2}{)}^2\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& s_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{1}{2}(s_n-\sqrt{2})\frac{(s_n-\sqrt{2})}{s_n}\end{array}$$

又

$$\frac{(s_n-\sqrt{2})}{s_n}<1$$

故而

$$\begin{array}{}\text{(5)}& 0<s_{n+1}-\sqrt{2}<\frac{1}{2}(s_n-\sqrt{2})\end{array}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(5)}& 0<s_{n+1}-\sqrt{2}<\frac{1}{2^2}(s_{n-1}-\sqrt{2}) \\ ... \\ 0<s_{n+1}-\sqrt{2}<\frac{1}{2^n}(s_1-\sqrt{2})\end{array} \end{gathered}$$

$$\mathrm{则}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_{n+1}-\sqrt{2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2^n}(s_1-\sqrt{2})=0$$

故而

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n=\sqrt{2}$$

因此所求序列就是$s_{n+1}=\frac{s_n+\frac{2}{s_n}}{2}$