两节点系统的节点电价求解过程

一个两节点系统，示意图如下：

三个发电机组$G1,G2,G3$在出清功率$P_{G,1},P_{G,2}和P_{G,3}$的下发电成本函数分别为

$$\begin{array}{l} c_1(P_{G,1})=1.05P_{G,1}+17\\ c_2(P_{G,2})=2.1P_{G,1}+25\\ c_3(P_{G,3})=1.55P_{G,3}+20 \end{array}$$

三个负载$P1,P2,P3$在负荷$P_{D,1},P_{D,2}和P_{D,3}$的用电效益函数分别为

$$\begin{array}{l} b_1(P_{D,1})=-0.4P_{D,1}+135\\ b_2(P_{D,2})=-0.8P_{D,1}+120\\ b_3(P_{D,3})=-0.5P_{D,3}+128 \end{array}$$

求解该两节点系统的出清和节点电价？
节点电价计算公式：

$$\lambda_{i}^{\mathrm{LMP}}=-\lambda-\sum_{l=1}^{m} F_{l i}\left(\mu_{1}^{+}+\mu_{1}^{-}\right)$$

式中$F_{li}$为节点 $i$ 对线路 $l$的发电机输出功率转移分布因子,由于该系统只有两个节点，所以$F_{li}=1$

1. 对于节点1，建立以下优化模型：

$$\begin{aligned} \max_{PD,PG} &\sum_{i=1}^{3}b_iP_{D,i}-\sum_{i=1}^{3}c_iP_{G,i}\\ \text{s.t.}\quad &0\leq P_{G,i}\leq40\text{MW},i={1,2,3}\\ &0\leq P_{D,i}\leq50\text{MW},i={1,2,3}\\ &\sum_{i=1}^{3}P_{D,i}=\sum_{i=1}^{3}P_{G,i}\\ &-10\text{MW}\leq P_{G,1}+P_{G,2}-P_{D,1}\leq 10\text{MW}\\ \end{aligned}$$

拉格朗日函数：

$$\begin{aligned} L=&\sum_{i=1}^{3}b_iP_{D,i}-\sum_{i=1}^{3}c_iP_{G,i}+\lambda (\sum_{i=1}^{3}P_{D,i}-\sum_{i=1}^{3}P_{G,i})+\mu_1^+(P_{G,1}+P_{G,2}-P_{D,1}-10)+\mu_1^-(P_{D,1}-P_{G,1}-P_{G,2}-10)\\ &+\mu_3(P_{G,1}-40)+\mu_4(P_{G,2}-40)+\mu_5(P_{G,3}-40)+\mu_6(P_{D,1}-50)+\mu_7(P_{D,2}-50)+\mu_8(P_{D,3}-50)-\mu_9P_{G,1}\\ &-\mu_{10}P_{G,2}-\mu_{11}P_{G,3}-\mu_{12}P_{D,1}-\mu_{13}P_{D,2}-\mu_{14}P_{D,3} \end{aligned}$$

根据KKT条件可以解得$\lambda=-102.41,\mu_1^+=4.26,\mu_1^-=0$，据据节点电价计算公式得$\lambda_1^{LMP}=98.15$

2. 对于节点2，建立以下优化模型：

$$\begin{aligned} \max_{PD,PG} &\sum_{i=1}^{3}b_iP_{D,i}-\sum_{i=1}^{3}c_iP_{G,i}\\ \text{s.t.}\quad &0\leq P_{G,i}\leq40\text{MW},i={1,2,3}\\ &0\leq P_{D,i}\leq50\text{MW},i={1,2,3}\\ &\sum_{i=1}^{3}P_{D,i}=\sum_{i=1}^{3}P_{G,i}\\ &-10\text{MW}\leq f_{2\rightarrow1}\leq 10\text{MW}\\ \end{aligned}$$

拉格朗日函数：

$$\begin{aligned} L=&\sum_{i=1}^{3}b_iP_{D,i}-\sum_{i=1}^{3}c_iP_{G,i}+\lambda (\sum_{i=1}^{3}P_{D,i}-\sum_{i=1}^{3}P_{G,i})+\mu_1^+(P_{G,3}-P_{D,2}-P_{D,3}-10)+\mu_1^-(P_{D,2}+P_{D,3}-P_{G,3}-10)\\ &+\mu_3(P_{G,1}-40)+\mu_4(P_{G,2}-40)+\mu_5(P_{G,3}-40)+\mu_6(P_{D,1}-50)+\mu_7(P_{D,2}-50)+\mu_8(P_{D,3}-50)-\mu_9P_{G,1}\\ &-\mu_{10}P_{G,2}-\mu_{11}P_{G,3}-\mu_{12}P_{D,1}-\mu_{13}P_{D,2}-\mu_{14}P_{D,3} \end{aligned}$$

根据KKT条件可以解得$\lambda=-98.15,\mu_1^+=0,\mu_1^-=4.26$，据节点电价计算公式得$\lambda_2^{LMP}=102.41$

求得上述优化模型的解为：

出清功率$PG$	$P_{G,1}=38.64\text{MW}$	$P_{G,2}=17.42\text{MW}$	$P_{G,3}=26.58\text{MW}$
机组边际价格$C$	$c_1=57.56\$/\text{MW}$ | $c_2=61.58\$/\text{MW}$	$c_3=61.21\$/\text{MW}$
机组收入	$2224.9333$	$1072.4667$	$1627.0638$
负载$PD$	$P_{D,1}=46.06\text{MW}$	$P_{D,2}=10.99\text{MW}$	$P_{D,3}=25.59\text{MW}$
支付价格	$b_1=116.58\$/\text{MW}$ | $b_2=111.21\$/\text{MW}$	$b_1=115.21\$/\text{MW}$
负载支出	$5369.55$	$1222.5639$	$2948.1023$
总社会福利	$4615.8\$$
节点$1$节点电价	$98.15\$$ | 节点$2$节点电价 | $102.41\$$

求解代码（提取码：4f6qei）