【算法】01背包

先看题目

物品不能分隔，必须全部取走或者留下，因此称为01背包
（只有不取和取两种状态）

看第一个样例

我们需要把4个物品装入一个容量为10的背包

我们可以简化问题，从小到大入手分析

weight	value
2		1
3		3
4		5
7		9

先考虑物品数量为1的情况：

把前1件物品放入容量为1的背包，此时得到的最大价值是：0
把前1件物品放入容量为2的背包，此时得到的最大价值是：1
把前1件物品放入容量为3的背包，此时得到的最大价值是：1
......
把前1件物品放入容量为10的背包，此时得到的最大价值是：1

把前2件物品放入容量为1的背包，此时得到的最大价值是：0
把前2件物品放入容量为2的背包，此时得到的最大价值是：1
把前2件物品放入容量为3的背包，此时得到的最大价值是：3
把前2件物品放入容量为4的背包，此时得到的最大价值是：3
把前2件物品放入容量为5的背包，此时得到的最大价值是：4
把前2件物品放入容量为6的背包，此时得到的最大价值是：4
......
把前2件物品放入容量为10的背包，此时得到的最大价值是：4

把前3件物品放入容量为1的背包，此时得到的最大价值是：0
把前3件物品放入容量为2的背包，此时得到的最大价值是：1
把前3件物品放入容量为3的背包，此时得到的最大价值是：3
把前3件物品放入容量为4的背包，此时得到的最大价值是：5
把前3件物品放入容量为5的背包，此时得到的最大价值是：5
把前3件物品放入容量为6的背包，此时得到的最大价值是：6
......
把前3件物品放入容量为10的背包，此时得到的最大价值是：9

即：先从物品的数量开始枚举，对i件物品枚举所对应的背包容量j，考虑它的最大价值f[i][j]

for(int i=1;i<=n;i++){//总共有n件物品
  for(int j=1;j<=m;j++){//背包的最大容量是m
    
  }
}

对于一个f[i][j]：

（1）假设我们不选择第i件物品，则f[i][j] = f[i-1][j]，相当于把前i-1件物品放入这个容量为j的背包，得到的最大值；

（2）假设我们选择第i件物品，则这个物品剩余的空间就是j-w[i]，前一次循环的时候必定会算出这个值来，因此可以让：f[i][j] = f[i-1][j-w[i]] + v[i]

两种选择中，我们保留最优解，避免下标出现负数（即j-w[i]可能为负数）

for(int i=1;i<=n;i++){
      for(int j=1;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=w[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
      }
}
printf("%d\n",f[n][m]);

其实这道题还有更多的做法，例如递归，从大到小的做法

上面的做法其实是递推，时间复杂度是O(n*m)，相比递归好一点，使用这种算法只要保证n*m在10⁷以内即可。空间复杂度则是O(n*m)

其实上，f数组是可以压缩成一维数组的

对于一个数f[i][j]，实际上是只用到了第i-1行

因此，经过简单的优化，只需要一行即可，把上一行的信息移动下来，删掉所有相关第一维度的东西，看看会变成什么样：

f[j]=f[j-w[i]]; //直接存到下一行中
f[j]=f[j];
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]);

对于一维数组的问题所在：循环的顺序会发生变化，如果继续按照从左到右的顺序进行循环的话，我们会发现，每一个数字都会被后面的数据所引用，因此需要从后往前来递推。这样，后面的值更新的时候不会被第二次使用，更新前面的值都不会被影响到。

反正记住是从后往前就行了

完整版的代码

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=m;j>=w[i];j--){
        //此处写j>=w[i]避免下标产生负数
        //相当于if(j>=w[i]) f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
        f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
    }
}