插入排序及其复杂度分析

• 问题：给定一个整数序列，按照从小到大的顺序（确切地说，是非递减的顺序）排列序列中的整数。
• 输入：一个整数序列。
• 输出：整数序列，其中的整数升序排列。

插入排序的思想：插入排序是在一个已经有序的小序列的基础上，一次插入一个元素。当然，刚开始这个有序的小序列只有1个元素，就是第一个元素。比较是从有序序列的末尾开始，也就是想要插入的元素和已经有序的最大者开始比起，如果比它大则直接插入在其后面，否则一直往前找直到找到它该插入的位置。如果碰见一个和插入元素相等的，那么插入元素把想插入的元素放在相等元素的后面。所以，相等元素的前后顺序没有改变，从原无序序列出去的顺序就是排好序后的顺序，所以插入排序是稳定的。

插入排序的C语言实现如下（a为数组首地址， size为数组中的元素个数）：

void insertion_sort(int *a, size_t size)
{
    int i, j, t;
    for(i = 1; i < size; i++){
        t = a[i];
        j = i - 1;
        while(j >= 0){
            if(a[j] > t){
                a[j + 1] = a[j];
            }
            else
                break;
            j--;
        }
        j += 1;
        a[j] = t;
    }
}

插入排序的时间复杂度分析。在最坏情况下，数组完全逆序，插入第2个元素时要考察前1个元素，插入第3个元素时，要考虑前2个元素，……，插入第N个元素，要考虑前 N - 1 个元素。因此，最坏情况下的比较次数是 1 + 2 + 3 + ... + (N - 1)，等差数列求和，结果为 N^2 / 2，所以最坏情况下的复杂度为 O(N^2)。

最好情况下，数组已经是有序的，每插入一个元素，只需要考查前一个元素，因此最好情况下，插入排序的时间复杂度为O(N)。

2015-03-18 Wed

本系列文章（更新中）：

1. 冒泡排序及其复杂度分析
2. 选择排序及其复杂度分析
3. 插入排序及其复杂度分析